设f(x,y)为连续函数，且,则( )。

admin2022-03-23 63

问题设f(x,y)为连续函数，且

,则( )。

选项 A、f(0,0)为f(x,y)的极大值
B、f(0,0)为f(x,y)的极小值
C、f(0,0)不是f(x,y)的极值
D、不能确定

答案A

解析记F(x,y)=x³+y³－3x²－3y²，则

则A=F"_xx｜_（0,0）=（6x－6)｜_（0,0）=－6＜0,B=F"_xy｜_（0,0）=0,C=F"_yy｜_（0,0）=(6y－6)｜_（0,0）=－6
由△=B²－AC=－36＜0及A＜0可知，点O(0,0)为F(x,y)的极大值点，且F(0,0)=0,故当x→0,y→0时，分母为负。
由极限的局部保号性，存在δ＞0，当(x,y)∈

(O,δ)时，

故f(0,0)为f(x,y)的极大值，选A。

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