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已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分[img][/img]
已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分[img][/img]
admin
2019-04-22
103
问题
已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,
,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分
[img][/img]
选项
答案
将二重积分[*]xyf’’
xy
(x,y)dxdy转化为累次积分可得 [*]xyf’’
xy
(x,y)dxdy=∫
0
1
dy∫
0
1
xyf’’
xy
(x,y)dx 首先考虑∫
0
1
xyf’’
xy
(x,y)dx,注意这里把变量y看作常数,故有 ∫
0
1
xyf’’
xy
(x,y)dx=y∫
0
1
xdf’
y
(x,y) =xyf’
y
(x,y)|
0
1
一∫
0
1
yf’
y
(x,y)dx =yf’
y
(1,y)一∫
0
1
yf’
y
(x,y)dx。 由f(1,y)=f(x,1)=0易知,f’
y
(1,y)=f’
x
(x,1)=0。所以 ∫
0
1
xyf’’
y
(x,y)dx=—∫
0
1
yf’
y
(x,y)dx。 因此 [*]=∫
0
1
dy∫
0
1
xyf’’
y
(x,y)dx=—∫
0
1
dy∫
0
1
yf’
y
(x,y)dx, 对该积分交换积分次序可得 —∫
0
1
dy∫
0
1
yf’
y
(x,y)dx=—∫
0
1
dx∫
0
1
yf’
y
(x,y)dy。 再考虑积分∫
0
1
yf’
y
(x,y)dy,注意这里把变量x看作常数,故有 ∫
0
1
yf’
y
(x,y)dy=∫
0
1
ydf(x,y)=yf(x,y)|
0
1
一∫
0
1
f(x,y)dy=一∫
0
1
f(x,y)dy, 因此 [*]=—∫
0
1
dx∫
0
1
yf’
y
(x,y)dy=—∫
0
1
dx∫
0
1
f(x,y)dy=[*]。
解析
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0
考研数学二
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