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  3. 已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分[img][/img]

已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分[img][/img]

admin2019-04-22  71
问题 已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分[img][/img]
选项
答案将二重积分[*]xyf’’xy(x，y)dxdy转化为累次积分可得 [*]xyf’’xy(x，y)dxdy=∫01dy∫01xyf’’xy(x，y)dx 首先考虑∫01xyf’’xy(x，y)dx，注意这里把变量y看作常数，故有 ∫01xyf’’xy(x，y)dx=y∫01xdf’y(x，y) =xyf’y(x，y)｜01一∫01yf’y(x，y)dx =yf’y(1，y)一∫01yf’y(x，y)dx。 由f(1，y)=f(x，1)=0易知，f’y(1，y)=f’x(x，1)=0。所以 ∫01xyf’’y(x，y)dx=—∫01yf’y(x，y)dx。 因此 [*]=∫01dy∫01xyf’’y(x，y)dx=—∫01dy∫01yf’y(x，y)dx， 对该积分交换积分次序可得 —∫01dy∫01yf’y(x，y)dx=—∫01dx∫01yf’y(x，y)dy。 再考虑积分∫01yf’y(x，y)dy，注意这里把变量x看作常数，故有 ∫01yf’y(x，y)dy=∫01ydf(x，y)=yf(x，y)｜01一∫01f(x，y)dy=一∫01f(x，y)dy， 因此 [*]=—∫01dx∫01yf’y(x，y)dy=—∫01dx∫01f(x，y)dy=[*]。
解析
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考研数学二

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