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已知函数f(x)在区间(1-δ,1+δ)内具有二阶导数,f’’(x)<0,且f(1)=f’(1)=1,则( ).
已知函数f(x)在区间(1-δ,1+δ)内具有二阶导数,f’’(x)<0,且f(1)=f’(1)=1,则( ).
admin
2013-08-30
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问题
已知函数f(x)在区间(1-δ,1+δ)内具有二阶导数,f
’’
(x)<0,且f(1)=f
’
(1)=1,则( ).
选项
A、在(1-δ,1)和(1,1+δ)内均有f(x)<x
B、在(1-δ,1)和(1,1+δ)内均有f(x)>x
C、在(1-δ,1)内f(x)<x,在(1,1+δ)内f(x)>x
D、在(1-δ,1)内f(x)>x,在(1,1+δ)内f(x)<x
答案
A
解析
设φ(x)=f(x)-x,则φ
’
(x)=f
’
(x)-1,φ
’’
(x)=f
’’
(x),
由f
’’
(x)<0得φ
’’
(x)<0,故φ
’
(x)单调减少,
则当x<1时,φ
’
(x)>φ
’
(1)=f
’
(1)-1=0,当x>1时,φ
’
(x)<φ
’
(1)=0,
则φ(x)在x=1处取得极大值,
当x∈(1-δ,1)∪(1,1+δ)时φ(x)<φ(1)=f(1)-1=0,即f(x)<x.故应选(A).
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考研数学一
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