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  3. 已知函数f(x)在区间(1-δ，1+δ)内具有二阶导数，f’’(x)＜0，且f(1)=f’(1)=1，则( )．

已知函数f(x)在区间(1-δ，1+δ)内具有二阶导数，f’’(x)＜0，且f(1)=f’(1)=1，则( )．

admin2013-08-30  64
问题 已知函数f(x)在区间(1-δ，1+δ)内具有二阶导数，f’’(x)＜0，且f(1)=f’(1)=1，则(    )．
选项 A、在(1-δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)＜x
B、在(1-δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)＞x
C、在(1-δ，1)内f(x)＜x，在(1，1+δ)内f(x)＞x
D、在(1-δ，1)内f(x)＞x，在(1，1+δ)内f(x)＜x
答案A
解析 设φ(x)=f(x)-x，则φ’(x)=f’(x)-1，φ’’(x)=f’’(x)，
    由f’’(x)＜0得φ’’(x)＜0，故φ’(x)单调减少，
    则当x＜1时，φ’(x)＞φ’(1)=f’(1)-1=0，当x＞1时，φ’(x)＜φ’(1)=0，
    则φ(x)在x=1处取得极大值，
    当x∈(1-δ，1)∪(1，1+δ)时φ(x)＜φ(1)=f(1)-1=0，即f(x)＜x．故应选(A)．
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考研数学一

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