已知函数f(x)在区间(1-δ,1+δ)内具有二阶导数,f’’(x)<0,且f(1)=f’(1)=1,则( ).

admin2013-08-30  38

问题 已知函数f(x)在区间(1-δ,1+δ)内具有二阶导数,f’’(x)<0,且f(1)=f(1)=1,则(    ).

选项 A、在(1-δ,1)和(1,1+δ)内均有f(x)<x
B、在(1-δ,1)和(1,1+δ)内均有f(x)>x
C、在(1-δ,1)内f(x)<x,在(1,1+δ)内f(x)>x
D、在(1-δ,1)内f(x)>x,在(1,1+δ)内f(x)<x

答案A

解析 设φ(x)=f(x)-x,则φ(x)=f(x)-1,φ’’(x)=f’’(x),
    由f’’(x)<0得φ’’(x)<0,故φ(x)单调减少,
    则当x<1时,φ(x)>φ(1)=f(1)-1=0,当x>1时,φ(x)<φ(1)=0,
    则φ(x)在x=1处取得极大值,
    当x∈(1-δ,1)∪(1,1+δ)时φ(x)<φ(1)=f(1)-1=0,即f(x)<x.故应选(A).
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