2. 考研
  3. 设A，B，C，D是4个四阶矩阵，其中A≠O，｜B｜≠0，｜C｜≠0，D≠O，且满足ABCD=O．若r(A)+r(B)+r(C)+r(D)=r，则r的取值范围是( )．

设A，B，C，D是4个四阶矩阵，其中A≠O，｜B｜≠0，｜C｜≠0，D≠O，且满足ABCD=O．若r(A)+r(B)+r(C)+r(D)=r，则r的取值范围是( )．

admin2016-11-03  17
问题 设A，B，C，D是4个四阶矩阵，其中A≠O，｜B｜≠0，｜C｜≠0，D≠O，且满足ABCD=O．若r(A)+r(B)+r(C)+r(D)=r，则r的取值范围是(    )．
选项 A、r＜10
B、10≤r≤12
C、12＜r＜16
D、r≥16
答案B
解析 由ABCD=(AB)(CD)=0得到
r(AB)+r(CD)≤4．
而B，C为满秩矩阵，故
r(AB)=r(A)，r(CD)=r(D)．
于是r(A)+r(D)≤4．又A≠O，D≠O，有
r(A)≥1，  r(D)≥1，
则2≤r(A)+r(D)≤4．又r(B)=r(C)=4，故
10=2+8≤r(A)+r(B)+r(C)+r(D)≤4+8=12．  仅(B)入选．
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考研数学一

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