2. 考研
  3. (2009年)设二次型 f(χ1，χ2，χ3)＝aχ12＋aχ22＋(a－1)χ32＋2χ1χ3－2χ2χ3． (Ⅰ)求二次型厂的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型f的规范形为y12＋y22求a的值．

(2009年)设二次型 f(χ1，χ2，χ3)＝aχ12＋aχ22＋(a－1)χ32＋2χ1χ3－2χ2χ3． (Ⅰ)求二次型厂的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型f的规范形为y12＋y22求a的值．

admin2021-01-19  45
问题 (2009年)设二次型
    f(χ1，χ2，χ3)＝aχ12＋aχ22＋(a－1)χ32＋2χ1χ3－2χ2χ3．
    (Ⅰ)求二次型厂的矩阵的所有特征值；
    (Ⅱ)若二次型f的规范形为y12＋y22求a的值．
选项
答案[*] 得A的特征值为λ1＝a，λ2＝a－2，λ3＝a＋1． (Ⅱ)由f的规范形知f的秩为2，正惯性指数为2(负惯性指数为0)，因此，A的特征值2个为正，1个为0．若λ1＝a＝0，则λ2＝－2＜0，λ3＝1，不合题意；若λ2＝a－2＝0，则a＝2，λ1＝2，λ3＝3，符合题意；若λ3＝a＋1＝0，则a＝－1，λ1＝－1＜0，λ2＝－3＜0，不合题意．故a＝2．
解析
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考研数学二

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