设A为n阶可逆矩阵,A*为A的伴随矩阵,则矩阵AA*的全部特征值为_________,特征向量为_________.

admin2019-07-17  32

问题 设A为n阶可逆矩阵,A*为A的伴随矩阵,则矩阵AA*的全部特征值为_________,特征向量为_________.

选项

答案特征值为λ=|A|,特征向量k1e1+k2e2……+knen,其中k1,k2,……,kn为Rn的标准正交基,k1,k2,……,kn是不同时为零的任意常数.

解析 本题考查特征值与特征向量的概念和求法.由于矩阵A可逆,故|A|≠0,又因为AA*=|A|E,即得|AA*一|A|E|=0,因此矩阵AA*的全部特征值为λ=|A|,是n重特征值.对于λ=|A|,λE—AA*=|A|E—|A|E=O,显然任何一个非零的n维向量都是方程组(λE一AA*)x=0的非零解,从而矩阵AA*的属于λ=|A|的特征向量为k1e1+k2e2+…+knen,其中e1,e2,…,en为Rn中的标准正交基,k1,k2,……,kn是不同时为零的任意常数.
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