已知矩阵A是n阶正定矩阵，证明：A﹣1是正定矩阵．

admin2020-06-05 45

问题已知矩阵A是n阶正定矩阵，证明：A^﹣1是正定矩阵．

选项

答案因为A正定，所以A^T＝A，那么(A^﹣1)^T＝(A^T)^﹣1＝A^﹣1，于是A^﹣1是对称矩阵．方法一 (用特征值)设矩阵A^﹣1的特征值是λ₁，λ₂，…，λ_n，则矩阵A的特征值是[*]．由A正定，知其特征值[*]﹥0(i＝1，2，…，n)，从而矩阵A^﹣1的特征值是λ_i﹥0(i＝l，2，…，n)全大于0．因此矩阵A^﹣1正定．方法二因为矩阵A正定，故存在可逆矩阵C使C^TAC＝E，那么 (C^TAC)^﹣1＝C^﹣1A^﹣1(C^T)^﹣1＝C^﹣1A^﹣1(C^﹣1)^T＝E 所以A^﹣1与E合同，故A^﹣1正定．方法三 (用定义)注意到对于任意非零向量x，有 x^TA^﹣1x＝x^T(A^﹣1AA^﹣1)x＝(x^TA^﹣1)A(A^﹣1x)＝(A^﹣1x)^TA(A^﹣1x)﹥0(A^﹣1x≠0) 从而A^﹣1正定．方法四因为A正定，那么A对称且可逆，于是A^TA^﹣1A＝A，所以A^﹣1与A合同，进而二次型x^TAx与x^TA^﹣1x有相同的正、负惯性指数．因此，由x^TAx是正定二次型，可知x^TA^﹣1x也为正定二次型，故A^﹣1正定．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/2Nv4777K

考研数学一

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

已知矩阵A是n阶正定矩阵，证明：A﹣1是正定矩阵．

考研数学一

方程组x1+x2+x3+x4+x5=0的基础解系是__________．

设随机事件A与B互不相容，且A＝B，则P(A)＝_______．

设A，B是任意两个随机事件，又知BA，且P(A)＜P(B)＜1，则一定有()

设z=z(x，y)是由方程z-y-z+2xez-y-x=0确定的隐函数，则在点(0，1)处z=z(x，y)的全微分dz｜(0,1)=()

二次型xtAx正定的充要条件是

设A，B为n阶对称矩阵，下列结论不正确的是()．

设A，B是n阶方阵，A，Y，b是n×1矩阵，则方程组有解的充要条件是()

设二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+2x32+2x1x3，则二次型的标准形是()(di＞0，i=1，2，3)

n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的()

设，讨论当a，b取何值时，方程组Ax=b无解、有唯一解、有无数个解，有无数个解时求通解．

下列各项中，能作为短期偿债能力辅助指标的是

原发性胆汁淤积性肝硬化最常见的早期症状为

2012年，某市受理专利申请量82682件，比上年增长3．1％。其中，发明专利37139件，增长15．5％。专利授权量51508件，增长7．4％。其中，发明专利11379件，增长24．2％。2012年全市有高新技术企业4312家，技术先进型服务企业281家

根据《企业会计准则第15号——建造合同》，下列费用中，不应计入工程成本的是()。

()接受承运人的委托，代理与船舶有关的一切业务的人。

可持续增长率可以表达为()。

养花专业户张某为防止花被偷，在花房周围私拉电网。一日晚，李某偷花不慎触电，经送医院抢救，不治身亡。张某对这种结果的主观心理态度是()。

细胞凋亡和程序性坏死的主要区别包括()。

犯罪的主观方面包括()。

Giventhechoice,youngerprofessionalsaremostinterestedinworkingattechcompanieslikeAppleandgovernmentagencieslike