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  3. 已知矩阵A是n阶正定矩阵，证明：A﹣1是正定矩阵．

已知矩阵A是n阶正定矩阵，证明：A﹣1是正定矩阵．

admin2020-06-05  44
问题 已知矩阵A是n阶正定矩阵，证明：A﹣1是正定矩阵．
选项
答案因为A正定，所以AT＝A，那么(A﹣1)T＝(AT)﹣1＝A﹣1，于是A﹣1是对称矩阵． 方法一 (用特征值)设矩阵A﹣1的特征值是λ1，λ2，…，λn，则矩阵A的特征值是[*]．由A正定，知其特征值[*]﹥0(i＝1，2，…，n)，从而矩阵A﹣1的特征值是λi﹥0(i＝l，2，…，n)全大于0．因此矩阵A﹣1正定． 方法二 因为矩阵A正定，故存在可逆矩阵C使CTAC＝E，那么 (CTAC)﹣1＝C﹣1A﹣1(CT)﹣1＝C﹣1A﹣1(C﹣1)T＝E 所以A﹣1与E合同，故A﹣1正定． 方法三 (用定义)注意到对于任意非零向量x，有 xTA﹣1x＝xT(A﹣1AA﹣1)x＝(xTA﹣1)A(A﹣1x)＝(A﹣1x)TA(A﹣1x)﹥0(A﹣1x≠0) 从而A﹣1正定． 方法四 因为A正定，那么A对称且可逆，于是ATA﹣1A＝A，所以A﹣1与A合同，进而二次型xTAx与xTA﹣1x有相同的正、负惯性指数．因此，由xTAx是正定二次型，可知xTA﹣1x也为正定二次型，故A﹣1正定．
解析
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考研数学一

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