已知矩阵A是n阶正定矩阵，证明：A﹣1是正定矩阵．

admin2020-06-05 31

问题已知矩阵A是n阶正定矩阵，证明：A^﹣1是正定矩阵．

选项

答案因为A正定，所以A^T＝A，那么(A^﹣1)^T＝(A^T)^﹣1＝A^﹣1，于是A^﹣1是对称矩阵．方法一 (用特征值)设矩阵A^﹣1的特征值是λ₁，λ₂，…，λ_n，则矩阵A的特征值是[*]．由A正定，知其特征值[*]﹥0(i＝1，2，…，n)，从而矩阵A^﹣1的特征值是λ_i﹥0(i＝l，2，…，n)全大于0．因此矩阵A^﹣1正定．方法二因为矩阵A正定，故存在可逆矩阵C使C^TAC＝E，那么 (C^TAC)^﹣1＝C^﹣1A^﹣1(C^T)^﹣1＝C^﹣1A^﹣1(C^﹣1)^T＝E 所以A^﹣1与E合同，故A^﹣1正定．方法三 (用定义)注意到对于任意非零向量x，有 x^TA^﹣1x＝x^T(A^﹣1AA^﹣1)x＝(x^TA^﹣1)A(A^﹣1x)＝(A^﹣1x)^TA(A^﹣1x)﹥0(A^﹣1x≠0) 从而A^﹣1正定．方法四因为A正定，那么A对称且可逆，于是A^TA^﹣1A＝A，所以A^﹣1与A合同，进而二次型x^TAx与x^TA^﹣1x有相同的正、负惯性指数．因此，由x^TAx是正定二次型，可知x^TA^﹣1x也为正定二次型，故A^﹣1正定．

解析

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考研数学一

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已知矩阵A是n阶正定矩阵，证明：A﹣1是正定矩阵．

考研数学一

二次型f(x1，x2，x3)=(x1—x2)2+4x2x3的矩阵为___________．

设事件A，B，C两两独立，则事件A，B，C相互独立的充要条件是()．

的一个基础解系为

设B为n阶可逆矩阵，A是与B同阶的方阵，且A2+AB+B2=0，则()

设A是m×n矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是()

设二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+2x32+2x1x3，则二次型的标准形是()(di＞0，i=1，2，3)

设f=xTAx，g=xTBx是两个n元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是()

设A为三阶矩阵，1，1，2是A的三个特征值，α1，α2，α3分别为对应的三个特征向量，则()．

设A，B为正定矩阵，C是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是()．

下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是()

相邻两个施工过程(或施工队)进入同一流水段的时间间隔称为()。

如下图所示，活塞杆AC以匀速υ=3m/s向上运动，通过长为4m的连杆AB带动滑块B沿水平直槽运动，当θ=60°时，滑块B的速度为()。

含有大量亲水矿物，湿度变化时有较大体积变化，变形受约束时产生较大内应力的岩土，应判定为()。

为了指导投标人正确编制投标书，招标文件应包括的内容是(　　)。

(2005年单选8)关于当代中国法律渊源的表述，能够成立的是()。

祖父母、外祖父母是未成年人()顺序的监护人。

计算机的某种病毒仅包围宿主程序，并不修改宿主程序，当宿主程序运行时，该病毒程序也随之进入内存，该病毒属于的病毒基本类型中的______。

在Applet中显示文字、图形等信息时，应使用的方法是()。

Forthispart,youareallowed30minutestowriteashortessayentitledDoesGradesMeanAbility?Youshouldwriteatleast15

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