已知矩阵A是n阶正定矩阵，证明：A﹣1是正定矩阵．

admin2020-06-05 25

问题已知矩阵A是n阶正定矩阵，证明：A^﹣1是正定矩阵．

选项

答案因为A正定，所以A^T＝A，那么(A^﹣1)^T＝(A^T)^﹣1＝A^﹣1，于是A^﹣1是对称矩阵．方法一 (用特征值)设矩阵A^﹣1的特征值是λ₁，λ₂，…，λ_n，则矩阵A的特征值是[*]．由A正定，知其特征值[*]﹥0(i＝1，2，…，n)，从而矩阵A^﹣1的特征值是λ_i﹥0(i＝l，2，…，n)全大于0．因此矩阵A^﹣1正定．方法二因为矩阵A正定，故存在可逆矩阵C使C^TAC＝E，那么 (C^TAC)^﹣1＝C^﹣1A^﹣1(C^T)^﹣1＝C^﹣1A^﹣1(C^﹣1)^T＝E 所以A^﹣1与E合同，故A^﹣1正定．方法三 (用定义)注意到对于任意非零向量x，有 x^TA^﹣1x＝x^T(A^﹣1AA^﹣1)x＝(x^TA^﹣1)A(A^﹣1x)＝(A^﹣1x)^TA(A^﹣1x)﹥0(A^﹣1x≠0) 从而A^﹣1正定．方法四因为A正定，那么A对称且可逆，于是A^TA^﹣1A＝A，所以A^﹣1与A合同，进而二次型x^TAx与x^TA^﹣1x有相同的正、负惯性指数．因此，由x^TAx是正定二次型，可知x^TA^﹣1x也为正定二次型，故A^﹣1正定．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/2Nv4777K

考研数学一

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

已知矩阵A是n阶正定矩阵，证明：A﹣1是正定矩阵．

考研数学一

设事件A，B，C两两独立，则事件A，B，C相互独立的充要条件是()．

已知四阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α1，α2线性无关，若α1+2α2—α3=β，α1+α2+α3+α4=β，2α1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2为任意常数，那么Ax=β的通解为()

设可导函数f(x)满足方程，则f(x)=()

设f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程y"+py’+qy=sin2x+2ex的满足初始条件f(0)=f’(0)=0的特解，则当x→0时，()．

n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的()

n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的()

设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量组，令A=(α1，α2，α3，α4)，AX=0的通解为X=k(0，一1，3，0)T，则A*X=0的基础解系为()

已知A是三阶实对称矩阵且不可逆，又知Aα=3α，Aβ=β，其中α=(1，2，3)T，β=(5，1，t)T，则下列命题正确的是()．①A必可相似对角化②必有t=－1③γ=(1，16，－11)T必是A的特征向量④｜A—E｜必为0

设A，B为正定矩阵，C是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是()．

磷铁块最大块重不超过()。

在我国，第一审行政案件()

在数据库关系模型中实体通常是以表的形式来表现的。表的每一行描述实体的一个_______，表的每一列描述实体的一个特征或属性。

简述电气设备起重搬运方法。

下列关于两项资产构成的投资组合的表述中，正确的有()。

某教师在“细胞的衰老和凋亡”一节的教学中，为了引导学生思考，设计了5个问题。其中3个问题都提问了班长。该教学行为不符合课程基本理念中的()。

读下图：图中甲、乙两区域都是重要的种植业分布区，回答问题。依据对应关系，说明甲区域发展种植业的不利自然条件及治理措施。

[2012年]设z=f(lnx+)，其中函数f(u)可微，则x=_________.