设f(x)在区间[0，1]上可积，当0≤x＜y≤1时，｜f(x)-f(y)｜≤｜arctanx-arctany｜，又f(1)=0，证明：｜∫01f(x)dx｜≤ln2．

admin2019-09-04 68

问题设f(x)在区间[0，1]上可积，当0≤x＜y≤1时，｜f(x)-f(y)｜≤｜arctanx-arctany｜，又f(1)=0，证明：｜∫₀¹f(x)dx｜≤

ln2．

选项

答案由｜f(x)｜=｜f(x)-f(1)｜≤｜arctanx-arctan1｜=｜arctanx-[*]｜得｜∫₀¹f(x)dx｜≤∫₀¹｜f(x)｜dx≤∫₀¹｜arctanx-[*]｜dx=∫₀¹([*]-arctanx)dx =[*]-∫₀¹arctanxdx=[*]-xarctanx｜₀¹+∫₀¹[*]ln(1+x²)｜₀¹=[*]ln2．

解析

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