2. 考研
  3. 设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X1，Xn分别为对应于λ1、λn的特征向量，记 f(X)=XTAX／XTX，X∈Rn，X≠0 证明：λ1≤f(X)≤λn，maxf(X)=λn=f(Xn)，minf(X)=λ1=f(X1)．

设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X1，Xn分别为对应于λ1、λn的特征向量，记 f(X)=XTAX／XTX，X∈Rn，X≠0 证明：λ1≤f(X)≤λn，maxf(X)=λn=f(Xn)，minf(X)=λ1=f(X1)．

admin2018-07-27  35
问题 设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X1，Xn分别为对应于λ1、λn的特征向量，记
f(X)=XTAX／XTX，X∈Rn，X≠0
证明：λ1≤f(X)≤λn，maxf(X)=λn=f(Xn)，minf(X)=λ1=f(X1)．
选项
答案存在正交变换X=PY(P为正交矩阵，Y=(y1，y2…，yn)T)，使得XTAX[*]λ1y12+…+λnyn2≤λn(y12+…+yn2)=λn‖Y‖2=λn‖X‖2=λnXTX，当X≠0时，有XTX＞0，上面不等式两端同除XTX，得f(X)=XTAX／XTX≤λn，又f(Xn)=XnTAXn／XnTXn=XnTλnXn／XnTXn=λn，故maxf(X)=λn=f(Xn)．类似可证minf(X)=λ1=f(X1)．
解析
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考研数学三

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