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设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值,X1,Xn分别为对应于λ1、λn的特征向量,记 f(X)=XTAX/XTX,X∈Rn,X≠0 证明:λ1≤f(X)≤λn,maxf(X)=λn=f(Xn),minf(X)=λ1=f(X1).
设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值,X1,Xn分别为对应于λ1、λn的特征向量,记 f(X)=XTAX/XTX,X∈Rn,X≠0 证明:λ1≤f(X)≤λn,maxf(X)=λn=f(Xn),minf(X)=λ1=f(X1).
admin
2018-07-27
55
问题
设λ
1
、λ
n
分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值,X
1
,X
n
分别为对应于λ
1
、λ
n
的特征向量,记
f(X)=X
T
AX/X
T
X,X∈R
n
,X≠0
证明:λ
1
≤f(X)≤λ
n
,maxf(X)=λ
n
=f(X
n
),minf(X)=λ
1
=f(X
1
).
选项
答案
存在正交变换X=PY(P为正交矩阵,Y=(y
1
,y
2
…,y
n
)
T
),使得X
T
AX[*]λ
1
y
1
2
+…+λ
n
y
n
2
≤λ
n
(y
1
2
+…+y
n
2
)=λ
n
‖Y‖
2
=λ
n
‖X‖
2
=λ
n
X
T
X,当X≠0时,有X
T
X>0,上面不等式两端同除X
T
X,得f(X)=X
T
AX/X
T
X≤λ
n
,又f(X
n
)=X
n
T
AX
n
/X
n
T
X
n
=X
n
T
λ
n
X
n
/X
n
T
X
n
=λ
n
,故maxf(X)=λ
n
=f(X
n
).类似可证minf(X)=λ
1
=f(X
1
).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/2PW4777K
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考研数学三
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