设F(u，v)可微，y=y(x)由方程F[xex+y,f(xy)]=x2+y2所确定，其中f(x)是连续函数且满足关系式 ∫1xyf(t)dt=x∫1yf(t)dt+y∫1xf(t)dt，x，y＞0，又f(1)=1，求： f(x)的表达式；

admin2021-08-02 107

问题设F(u，v)可微，y=y(x)由方程F[xe^x+y,f(xy)]=x²+y²所确定，其中f(x)是连续函数且满足关系式
∫₁^xyf(t)dt=x∫₁^yf(t)dt+y∫₁^xf(t)dt，

x，y＞0，
又f(1)=1，求：
f(x)的表达式；

选项

答案在∫₁^xyf(t)dt=x∫₁^yf(t)dt+y∫₁^xf(t)dt两边同时对x求偏导，有 yf(xy)=∫₁^yf(t)dt+yf(x) 上式两边再同时对y求偏导数，有 f(xy)+xyf’(xy)=f(y)+f(x), 令y=1，有 f(x)+xf’(x)=f(1)+f(x). 又f(1)=1，则f’(x)=[*]，得f(x)=lnx+1.

解析

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