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设F(u,v)可微,y=y(x)由方程F[xex+y,f(xy)]=x2+y2所确定,其中f(x)是连续函数且满足关系式 ∫1xyf(t)dt=x∫1yf(t)dt+y∫1xf(t)dt,x,y>0, 又f(1)=1,求: f(x)的表达式;
设F(u,v)可微,y=y(x)由方程F[xex+y,f(xy)]=x2+y2所确定,其中f(x)是连续函数且满足关系式 ∫1xyf(t)dt=x∫1yf(t)dt+y∫1xf(t)dt,x,y>0, 又f(1)=1,求: f(x)的表达式;
admin
2021-08-02
87
问题
设F(u,v)可微,y=y(x)由方程F[xe
x+y
,f(xy)]=x
2
+y
2
所确定,其中f(x)是连续函数且满足关系式
∫
1
xy
f(t)dt=x∫
1
y
f(t)dt+y∫
1
x
f(t)dt,
x,y>0,
又f(1)=1,求:
f(x)的表达式;
选项
答案
在∫
1
xy
f(t)dt=x∫
1
y
f(t)dt+y∫
1
x
f(t)dt两边同时对x求偏导,有 yf(xy)=∫
1
y
f(t)dt+yf(x) 上式两边再同时对y求偏导数,有 f(xy)+xyf’(xy)=f(y)+f(x), 令y=1,有 f(x)+xf’(x)=f(1)+f(x). 又f(1)=1,则f’(x)=[*],得f(x)=lnx+1.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/2Py4777K
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考研数学二
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