设f(x)在区间[0，1]上连续，在区间(0，1)内存在二阶导数，且f(0)=f(1)．证明：存在ξ∈(0，1)使2f’(ξ)+ξf"(ξ)=0．

admin2018-08-22 67

问题设f(x)在区间[0，1]上连续，在区间(0，1)内存在二阶导数，且f(0)=f(1)．证明：存在ξ∈(0，1)使2f’(ξ)+ξf"(ξ)=0．

选项

答案由f(0)=f(1)知，存在η∈(0，1)使f’(η)=0．令F(x)=x²f’(x)，有F(0)=0，F(η)=η²f’(η)=0，故知存在ξ∈(0，η)[*](0，1)使F’(ξ)=0．而F’(x)=2xf’(x)+x²f"(x)，于是有2ξf’(ξ)+ξ²f"(ξ)=0．又ξ≠0，所以2f’(ξ)+ξf"(ξ)=0．证毕．

解析

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