在[0，＋∞)上给定曲线y＝y(χ)＞0，y(0)＝2，y(χ)有连续导数．已知χ＞0，[0，χ]上一段绕χ轴旋转所得侧面积等于该段旋转体的体积．求曲线y＝y(χ)的方程．

admin2016-10-21 49

问题在[0，＋∞)上给定曲线y＝y(χ)＞0，y(0)＝2，y(χ)有连续导数．已知

χ＞0，[0，χ]上一段绕χ轴旋转所得侧面积等于该段旋转体的体积．求曲线y＝y(χ)的方程．

选项

答案(Ⅰ)列方程，定初值．在[0，χ]上侧面积与体积分别为2π∫₀^χy[*]dt，∫₀^χπy²dt．按题意 2π∫₀^χy(t)[*]dt＝π∫₀^χy²(t)dt， ① y(0)＝2． ② (Ⅱ)转化．将①式两边求导得2y(χ)[*]＝y²(χ) (在①中令χ＝0，得0＝0，不必另附加条件)．化简得 [*] (Ⅲ)解初值问题[*] ③式分离变量得[*] 积分得[*] 为解出y，两边乘[*] 将④，⑤相加得y＝[*]

解析

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考研数学二

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在[0，＋∞)上给定曲线y＝y(χ)＞0，y(0)＝2，y(χ)有连续导数．已知χ＞0，[0，χ]上一段绕χ轴旋转所得侧面积等于该段旋转体的体积．求曲线y＝y(χ)的方程．

考研数学二

假设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,过点A(0,f(0))与B(1,f(1))的直线与曲线y=f(x)相交于点C(c,f(c)),其中0＜c＜1.证明:在(0,1)内至少存在一点ξ,使f"(ξ)=0.

设函数y-=f(x)具有二阶导数,且f’(x)>0,f"(x)>0,△x为自变量x在点x0处的增量,△y与dy分别为f(x)在点x0处相应的增量与微分,若△x＞0,则________。

设f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程y"+py’+qy=sin2x+2ex的满足初始条件f(0)=f’(0)=0的特解，则当x→0时，

设u=f(x,y,z),ψ(x2,ey,z)=0,y=sinx，其中f,ψ都具有一阶连续偏导数，且0,求.

设z=z(x,y)是由方程x2+y2－z=ψ(x+y+z)所确定的函数，其中ψ具有2阶导数且ψ’≠－1.求dz.

设函数f(x)、g(x)满足条件：f’(x)=g(x),g’(x)=f(x).又f(0)=0,g(x)≠0,试求由曲线与x=0,x=t（t＞0)，y=1所围成的平面图形的面积。

设f(x)在区间[－a,a](a＞0)上具有二阶连续导数,f(0)=0.写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式。

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