2. 考研
  3. 在[0，＋∞)上给定曲线y＝y(χ)＞0，y(0)＝2，y(χ)有连续导数．已知χ＞0，[0，χ]上一段绕χ轴旋转所得侧面积等于该段旋转体的体积．求曲线y＝y(χ)的方程．

在[0，＋∞)上给定曲线y＝y(χ)＞0，y(0)＝2，y(χ)有连续导数．已知χ＞0，[0，χ]上一段绕χ轴旋转所得侧面积等于该段旋转体的体积．求曲线y＝y(χ)的方程．

admin2016-10-21  64
问题 在[0，＋∞)上给定曲线y＝y(χ)＞0，y(0)＝2，y(χ)有连续导数．已知χ＞0，[0，χ]上一段绕χ轴旋转所得侧面积等于该段旋转体的体积．求曲线y＝y(χ)的方程．
选项
答案(Ⅰ)列方程，定初值． 在[0，χ]上侧面积与体积分别为2π∫0χy[*]dt，∫0χπy2dt．按题意 2π∫0χy(t)[*]dt＝π∫0χy2(t)dt， ① y(0)＝2． ② (Ⅱ)转化．将①式两边求导得2y(χ)[*]＝y2(χ) (在①中令χ＝0，得0＝0，不必另附加条件)．化简得 [*] (Ⅲ)解初值问题[*] ③式分离变量得[*] 积分得[*] 为解出y，两边乘[*] 将④，⑤相加得y＝[*]
解析
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考研数学二

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