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  3. 设二次型f(x1，x2，x3)＝XTAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB＋B＝O，其中B＝． 求正交变换x＝QY将二次型化为标准形；

设二次型f(x1，x2，x3)＝XTAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB＋B＝O，其中B＝． 求正交变换x＝QY将二次型化为标准形；

admin2021-09-16  5
问题 设二次型f(x1，x2，x3)＝XTAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB＋B＝O，其中B＝．
求正交变换x＝QY将二次型化为标准形；
选项
答案由AB＋B＝O得(E＋A)B＝O，从而r(E＋A)＋r(B)≤3． 因为r(B)＝2，所以r(E＋A)≤1，从而λ＝－1为A的特征值且不低于2重，显然λ＝－1不可能为三重特征值，则A的特征值为λ1＝λ2＝－1，λ3＝5． 由(E＋A)B＝O得B的列组为(E＋A)X＝0的解，故α1＝[*]，α2＝[*]为λ1＝λ2＝－1对应的线性无关解． 令α3＝[*]为λ3＝5对应的特征向量． 因为AT＝A，所以[*]，即[*]解得α3＝[*] 令β1＝[*]，β2＝α2－[*]α1＝[*]，β1＝[*]，单位化得 γ1＝[*]，γ2＝[*]，γ3＝[*]， 令Q＝(γ1，γ2，γ3)，则f＝XTAX[*]－y12－y22＋5y32．
解析
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考研数学一

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