设幂级数的系数{an}满足an=2，nan-1=n一1，n=1，2，3，…．求此幂级数的和函数S(x)，其中x∈(一1，1)．

admin2022-04-10 106

问题设幂级数

的系数{a_n}满足a_n=2，na_n-1=n一1，n=1，2，3，…．求此幂级数的和函数S(x)，其中x∈(一1，1)．

选项

答案求解本题的关键是确定幂级数[*]的系数a_n(n=0，1，2，…)．为此在系数的递推公式na_n=a_n-1+n一1中依次令n=1，2，3即得a₁=a_n=2，[*]由此可猜想．[*]都成立．用数学归纳法只需证明若[*]成立，则[*]也成立即可．事实上，由(n+1)a_n+1=a_n+n可得[*]即系数{a_n}的递推公式埘任何n≥2成立．从而幂级数[*]即和函数[*]

解析

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考研数学三

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