设f(t)在(-∞，+∞)内有连续导数，且满足f(t)=2(x2+y2)f()dxdy+t1，其中D：x2+y2≤t2，求f(t)及f(4n)(0)(n≥1)．

admin2022-04-27 34

问题设f(t)在(-∞，+∞)内有连续导数，且满足f(t)=2

(x²+y²)f(

)dxdy+t¹，其中D：x²+y²≤t²，求f(t)及f⁽⁴ⁿ⁾(0)(n≥1)．

选项

答案由已知，f(0)=0，f(t)是偶函数，只需讨论t＞0， f(t)=2∫₀^2πdθ∫₀^tr³f(r)dr+t⁴=4π∫₀^t r³f(r)dr+t⁴，等式两边同时对t求导，得 f’(t)=4πt³f(t)+4t³．且f(0)=0，解一阶线性微分方程，得 f(t)=[*](t＞0)．而f(t)是偶函数，故在(-∞，+∞)内，有f(t)=[*]．由泰勒公式，有 [*]

解析

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考研数学三

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