2. 考研
  3. 设f(t)在(-∞，+∞)内有连续导数，且满足f(t)=2(x2+y2)f()dxdy+t1，其中D：x2+y2≤t2，求f(t)及f(4n)(0)(n≥1)．

设f(t)在(-∞，+∞)内有连续导数，且满足f(t)=2(x2+y2)f()dxdy+t1，其中D：x2+y2≤t2，求f(t)及f(4n)(0)(n≥1)．

admin2022-04-27  47
问题 设f(t)在(-∞，+∞)内有连续导数，且满足f(t)=2(x2+y2)f()dxdy+t1，其中D：x2+y2≤t2，求f(t)及f(4n)(0)(n≥1)．
选项
答案由已知，f(0)=0，f(t)是偶函数，只需讨论t＞0， f(t)=2∫02πdθ∫0tr3f(r)dr+t4=4π∫0t r3f(r)dr+t4， 等式两边同时对t求导，得 f’(t)=4πt3f(t)+4t3． 且f(0)=0，解一阶线性微分方程，得 f(t)=[*](t＞0)． 而f(t)是偶函数，故在(-∞，+∞)内，有f(t)=[*]． 由泰勒公式，有 [*]
解析
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考研数学三

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