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设f(t)在(-∞,+∞)内有连续导数,且满足f(t)=2(x2+y2)f()dxdy+t1,其中D:x2+y2≤t2,求f(t)及f(4n)(0)(n≥1).
设f(t)在(-∞,+∞)内有连续导数,且满足f(t)=2(x2+y2)f()dxdy+t1,其中D:x2+y2≤t2,求f(t)及f(4n)(0)(n≥1).
admin
2022-04-27
31
问题
设f(t)在(-∞,+∞)内有连续导数,且满足f(t)=2
(x
2
+y
2
)f(
)dxdy+t
1
,其中D:x
2
+y
2
≤t
2
,求f(t)及f
(4n)
(0)(n≥1).
选项
答案
由已知,f(0)=0,f(t)是偶函数,只需讨论t>0, f(t)=2∫
0
2π
dθ∫
0
t
r
3
f(r)dr+t
4
=4π∫
0
t
r
3
f(r)dr+t
4
, 等式两边同时对t求导,得 f’(t)=4πt
3
f(t)+4t
3
. 且f(0)=0,解一阶线性微分方程,得 f(t)=[*](t>0). 而f(t)是偶函数,故在(-∞,+∞)内,有f(t)=[*]. 由泰勒公式,有 [*]
解析
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0
考研数学三
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