2. 考研
  3. [2009年] 函数y=x2x在区间(0，1]上的最小值为__________．

[2009年] 函数y=x2x在区间(0，1]上的最小值为__________．

admin2021-01-19  48
问题 [2009年]  函数y=x2x在区间(0，1]上的最小值为__________．
选项
答案利用命题1．2．5．4或命题1．2．5．5求之． 解一 y=e2xlnx，故y′=e2xlnx(21nx+2)=x2x(21nx+2)，令y′=0得驻点为x1=l／e． 此时y1=e-2/e．而 y(1)=1，y(0+0)=[*]=e2.0=1． 由命题1．2．5．6知，y=x2x在区间(0，1]上的最小值为 m=min{y(0)，y(x1)，y(1))=min{1，e-2/e，1)=e-2/e． 解二 函数y=x2x在区间(0，1)上连续，在(0，1)区间内只有一个驻点x1=1／e，又 y″=x2x(2lnx+2)2+x2x(2／x)，得y″(1／e)=[*]＞0．故x1=1／e为y=x2x 的极小值点，该极小值为y1=e-2/e．由命题1．2．5．5知，该极小值即为函数y在区间(0，1]上的最小值．
解析
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考研数学二

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