已知二次型f(x1,x2,x3)=xTAx经正交变换x=Qy化为标准形f=3y12—6y22—6y32,其中矩阵Q的第1列是α1=()T.求二次型f(x1,x2,x3)的表达式.

admin2017-07-26  40

问题 已知二次型f(x1,x2,x3)=xTAx经正交变换x=Qy化为标准形f=3y12—6y22—6y32,其中矩阵Q的第1列是α1=()T.求二次型f(x1,x2,x3)的表达式.

选项

答案由题设A的三个特征值分别为λ1=3,λ23=一6,且属于λ1=3的特征向量是α1=(1,2,2)T. 设λ23=一6的特征向量为x=(x1,x2,x3)T,因A是实对称矩阵,不同特征值的特征向量相互正交,有x,α1=0,即 x1+2x2+2x3=0. 得α2=(0,1,一1)T,α3=(2,0,一1)T是属于λ22=一6的特征向量. 先将α2,α3正交化,有 β22, [*] 故所求的二次型为xTAx=一5x12—2x22—2x32+4x1x2+4x1x3+8x2x3

解析
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