设f为定义在R上以h为周期的函数，a为实数．证明：若f在[a，a+h]上有界，则f在R上有界．

admin2022-10-31 7

问题设f为定义在R上以h为周期的函数，a为实数．证明：若f在[a，a+h]上有界，则f在R上有界．

选项

答案∵f(x)在[a，a+h]上有界，∴存在M＞0，使得对任意x∈[a，a+h]，有｜f(x)｜≤M．由实数的性质知,对任意x∈R，必存在唯一整数k，使得kh≤x-a＜(k+1)h．于是a≤x-kh＜a+h，即x-kh∈[a，a+h]．由于h是f的周期，因而｜f(x)｜=｜f(x-kh)｜≤M, 故f(x)在R上有界．

解析

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