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  3. 已知以2π为周期的周期函数f(x)在(一∞，+∞)上有二阶导数，且f(0)=0．设F(x)=(sinx一1)2f(x)，证明存在x0∈(2π，[*])使得F"(x。)=0．

已知以2π为周期的周期函数f(x)在(一∞，+∞)上有二阶导数，且f(0)=0．设F(x)=(sinx一1)2f(x)，证明存在x0∈(2π，[*])使得F"(x。)=0．

admin2018-06-14  55
问题 已知以2π为周期的周期函数f(x)在(一∞，+∞)上有二阶导数，且f(0)=0．设F(x)=(sinx一1)2f(x)，证明存在x0∈(2π，[*])使得F"(x。)=0．
选项
答案显然F(0)=F([*])=o，于是由罗尔定理知，存在x1∈(0，[*])，使得F’(x1)=0．又 F’(x)=2(sinx一1)f(x)+(sinx—1)2f’(x)， [*] 对F’(x)应用罗尔定理，由于F(x)二阶可导，则存在x0*∈(x1，[*])，使得F"(x0*)=0． 注意到F(x)以2π为周期，F’(x)与F"(x)均为以2π为周期的周期函数，于是存在x0=2π+x0*，即x0∈(2π，[*])，使得 F"(x0)=F"(x0*)=0．
解析 首先，因f(x)是周期为2π的周期函数，则F(x)也必为周期函数，且周期为2π，于是只需证明存在x0*∈[0，)，使得F"(x0*)=0即可．
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考研数学三

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