求下列方程的通解或特解:

admin2019-05-11  45

问题 求下列方程的通解或特解:

选项

答案(Ⅰ)相应齐次方程的特征方程λ2-4=0,特征根λ=±2.零不是特征根,方程有特解y*=aχ2+bχ+c,代入方程得2a-4(aχ2+bχ+c)=4χ2. [*]-4a=4,b=0,2a-4c=0[*]a=-,c=-[*]. 得y*=-χ2-[*]. 则通解为y=C1e+C2e-2χ-χ2-[*]. 由初值y(0)=C1+C2-[*],y′(0)=2C1-2C2=2, [*] 因此得特解y=[*] (Ⅱ)相应齐次方程的特征方程λ2+3λ+2=0,特征根λ1=-1,λ2=-2.由于非齐次项是e-χcosχ;-1±i不是特征根,所以设非齐次方程有特解y*=e-χ(acosχ+bsinχ).代入原方程比较等式两端e-χcosχ与e-χsinχ的系数,可确定出[*],所以非齐次方程的通解为y=C1e-χ+C2e-2χ+[*]e-χ(sinχ-cosχ),其中C1,C2为任意常数.

解析
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