求下列方程的通解或特解：

admin2019-05-11 51

问题求下列方程的通解或特解：

选项

答案(Ⅰ)相应齐次方程的特征方程λ²－4＝0，特征根λ＝±2．零不是特征根，方程有特解y^*＝aχ²＋bχ＋c，代入方程得2a－4(aχ²＋bχ＋c)＝4χ²． [*]－4a＝4，b＝0，2a－4c＝0[*]a＝－，c＝－[*]．得y^*＝－χ²－[*]．则通解为y＝C₁e^2χ＋C₂e^－2χ－χ²－[*]．由初值y(0)＝C₁＋C₂－[*]，y′(0)＝2C₁－2C₂＝2， [*] 因此得特解y＝[*] (Ⅱ)相应齐次方程的特征方程λ²＋3λ＋2＝0，特征根λ₁＝－1，λ₂＝－2．由于非齐次项是e^－χcosχ；－1±i不是特征根，所以设非齐次方程有特解y^*＝e^－χ(acosχ＋bsinχ)．代入原方程比较等式两端e^－χcosχ与e^－χsinχ的系数，可确定出[*]，所以非齐次方程的通解为y＝C₁e^－χ＋C₂e^－2χ＋[*]e^－χ(sinχ－cosχ)，其中C₁，C₂为任意常数．

解析

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考研数学二

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