设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(－∞，＋∞)有｜f(x)＋f’(x)｜≤1．证明：｜f(x)｜≤1．

admin2018-01-23 23

问题设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(－∞，＋∞)有｜f(x)＋f’(x)｜≤1．证明：
｜f(x)｜≤1．

选项

答案令φ(x)＝e^xf(x)，则φ’(x)＝e^x[f(x)＋f’(x)]，由｜f(x)＋f’(x)｜≤1得｜φ’(x)｜≤e^x，又由f(x)有界得φ(－∞)＝0，则 φ(x)＝φ(x)－φ(－∞)＝∫_－∞^xφ’(x)dx，两边取绝对值得 e^x｜f(x)｜≤∫_－∞^x｜φ’(x)｜dx≤∫_－∞^xe^xdx＝e^x，所以｜f(x)｜≤1．

解析

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考研数学三

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求级数的收敛域与和函数。
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设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，又f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=g’’(ξ)．
计算积分其中D是由直线y=一x及曲线所围成．
求极限
若f(x，y)为关于x的奇函数，且积分区域D关于y轴对称，则当f(x，y)在D上连续时，必有f(x，y)dxdy=_________．

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