设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(－∞，＋∞)有｜f(x)＋f’(x)｜≤1．证明：｜f(x)｜≤1．

admin2018-01-23 16

问题设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(－∞，＋∞)有｜f(x)＋f’(x)｜≤1．证明：
｜f(x)｜≤1．

选项

答案令φ(x)＝e^xf(x)，则φ’(x)＝e^x[f(x)＋f’(x)]，由｜f(x)＋f’(x)｜≤1得｜φ’(x)｜≤e^x，又由f(x)有界得φ(－∞)＝0，则 φ(x)＝φ(x)－φ(－∞)＝∫_－∞^xφ’(x)dx，两边取绝对值得 e^x｜f(x)｜≤∫_－∞^x｜φ’(x)｜dx≤∫_－∞^xe^xdx＝e^x，所以｜f(x)｜≤1．

解析

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考研数学三

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