2. 考研
  3. 设A为三阶矩阵，有三个不同特征值λ1 ，λ2 ，λ3 ，对应的特征向量依次为α1 ，α2 ，α3 ，令β=α1+α2+α3． (1)证明：β不是A的特征向量； (2)β，Aβ，A2β线性无关； (3)若A3β=Aβ，计算行列式|2A+3E|．

设A为三阶矩阵，有三个不同特征值λ1 ，λ2 ，λ3 ，对应的特征向量依次为α1 ，α2 ，α3 ，令β=α1+α2+α3． (1)证明：β不是A的特征向量； (2)β，Aβ，A2β线性无关； (3)若A3β=Aβ，计算行列式|2A+3E|．

admin2016-12-16  48
问题 设A为三阶矩阵，有三个不同特征值λ1 ，λ2 ，λ3 ，对应的特征向量依次为α1 ，α2 ，α3 ，令β=α1+α2+α3．
(1)证明：β不是A的特征向量；
(2)β，Aβ，A2β线性无关；
(3)若A3β=Aβ，计算行列式|2A+3E|．
选项
答案(1)可用反证法证之； (2)用线性无关定义证明； (3)因β，Aβ，A2β线性无关，用矩阵表示法可求出A的相似矩阵B，由|A|=|B|得|2B+3E|=|2A+3E|． (1)证一假设β为A的特征向量，则存在λ0 ，使Aβ=λ0β，即 A(α1+α2+α3)=λ0＜α1+α2+α3)， 得 (λ1一λ0)α1+(λ2一λ0)α2+(λ3一Ao)α3=0． 由α1 ，α2 ，α3线性无关知 λ1=λ0=0，λ2一λ0=0，λ3一λ0=0， 从而有λ1=λ2=λ3 ，这与已知条件矛盾，因此β不是A的特征向量． 因α1 ，α2 ，α3是属于不同特征值的特征向量，故α1+α2+α3必不是A的特征向量． (2)设 k1β+k2Aβ+k3A2β=0， 则 (k1+k2λ1+k3λ12)α1+(k1+k2λ2+k3λ22)α2+(k1+k2λ3+k3λ23)α3=0． 由α1 ，α2 ，α3线性无关，得 [*] 因上方程组的系数矩阵的行列式为三阶范德蒙行列式，又因λ1≠λ2≠λ3 ，故该方程组只有零解，故 k 1=k2=k3=0． 所以β，Aβ，A2β线性无关． (3)由题设有 A[p，A[β，A2β]=[Aβ，A2β，A3β]=[Aβ，A2β，Aβ]=[β，Aβ，A2β][*] 令P=令P=[β，Aβ，A2β]，则P可逆，且 [*] 于是 P一1(2A+3E)P=2B+3E， 从而 |2A+3E|=|2B+3E|=[*]
解析
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考研数学三

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