设f(x，y，z)是连续函数，f(0，0，0)=0， I(R)=f(x，y，z)dxdydz 则R→0时，下面说法正确的是( )．

admin2016-11-03 61

问题设f(x，y，z)是连续函数，f(0，0，0)=0，
I(R)=

f(x，y，z)dxdydz
则R→0时，下面说法正确的是( )．

选项 A、I(R)是R的一阶无穷小
B、I(R)是R的二阶无穷小
C、I(R)是R的三阶无穷小
D、I(R)至少是R的三阶无穷小

答案D

解析因f(x，y，z)为连续函数，由积分中值定理得到
I(R)=f(ξ，η，ζ).

dxdydz=f(ξ，η，ζ).

πR³，
其中ξ²+η²+ζ²≤R²．当R→0时，(ξ，η，ζ)→(0，0，0)，于是

当f(0，0，0)≠0时，I(R)是R的三阶无穷小，当f(0，0，0)=0时，I(R)是比R³高阶的无穷小，因而I(R)至少是R的三阶无穷小．仅(D)入选．

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