设f(x,y,z)是连续函数,f(0,0,0)=0, I(R)=f(x,y,z)dxdydz 则R→0时,下面说法正确的是( ).

admin2016-11-03  48

问题 设f(x,y,z)是连续函数,f(0,0,0)=0,
I(R)=f(x,y,z)dxdydz
则R→0时,下面说法正确的是(    ).

选项 A、I(R)是R的一阶无穷小
B、I(R)是R的二阶无穷小
C、I(R)是R的三阶无穷小
D、I(R)至少是R的三阶无穷小

答案D

解析 因f(x,y,z)为连续函数,由积分中值定理得到
I(R)=f(ξ,η,ζ).dxdydz=f(ξ,η,ζ).πR3
其中ξ222≤R2.当R→0时,(ξ,η,ζ)→(0,0,0),于是

当f(0,0,0)≠0时,I(R)是R的三阶无穷小,当f(0,0,0)=0时,I(R)是比R3高阶的无穷小,因而I(R)至少是R的三阶无穷小.仅(D)入选.
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