设向量α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT，求： A的特征值和特征向量；

admin2021-07-27 42

问题设向量α=[a₁，a₂，…，a_n]^T，β=[b₁，b₂，…，b_n]^T都是非零向量，且满足条件α^Tβ=0，记n阶矩阵A=αβ^T，求：
A的特征值和特征向量；

选项

答案方法一利用A²=0的结果．设A的任一特征值为λ，对应于λ的特征向量为ξ，则Aξ=λξ．两端左乘A，得A²ξ=λAξ=λ²ξ．因A²=0，所以λ²ξ=0，又ξ≠0，故λ=0，即矩阵A的全部特征值为0．方法二直接用特征值的定义．Aξ=αβξ=λξ，①由①式若β^Tξ=0，则λξ=0，又ξ≠0，得λ=0．若β^Tξ≠0，①式两端左乘β^T，得β^Tαβ^Tξ=(β^Tα)β^Tξ=(α^Tβ)^T(β^Tξ)=0·(β^Tξ)=λβ^Tξ，得λ=0，故A的全部特征值为0．

解析

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考研数学二

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设向量α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT，求： A的特征值和特征向量；

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