2. 考研
  3. 设向量α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT，求： A的特征值和特征向量；

设向量α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT，求： A的特征值和特征向量；

admin2021-07-27  62
问题 设向量α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT，求：
A的特征值和特征向量；
选项
答案方法一 利用A2=0的结果．设A的任一特征值为λ，对应于λ的特征向量为ξ，则Aξ=λξ．两端左乘A，得A2ξ=λAξ=λ2ξ．因A2=0，所以λ2ξ=0，又ξ≠0，故λ=0，即矩阵A的全部特征值为0． 方法二 直接用特征值的定义．Aξ=αβξ=λξ，①由①式若βTξ=0，则λξ=0，又ξ≠0，得λ=0．若βTξ≠0，①式两端左乘βT，得βTαβTξ=(βTα)βTξ=(αTβ)T(βTξ)=0·(βTξ)=λβTξ，得λ=0，故A的全部特征值为0．
解析
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考研数学二

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