2. 考研
  3. 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα=2αz+α，Aα=2α+3α．求： (1)矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B． (2)矩阵A的特征值． (3)可逆阵P，使得P

设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα=2αz+α，Aα=2α+3α．求： (1)矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B． (2)矩阵A的特征值． (3)可逆阵P，使得P

admin2020-09-25  42
问题 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα=2αz+α，Aα=2α+3α．求：
  (1)矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B．
  (2)矩阵A的特征值．
  (3)可逆阵P，使得P-1AP为对角阵．
选项
答案(1)由题意知A(α1，α2，α3)=(α1+α2+α3，2α2+α3，2α2+3α3)=(α1，α2，α3)[*] 因此B=[*] (2)因为α1，α2，α3线性无关，由(1)得A～B，因此只需求B的特征值.B的特征多项式|λE一B|=[*]=(λ一1)2(λ一4)，因此B的特征值为1，1，4，所以A的特征值也为1，1，4． (3)我们首先求B的特征向量． ①当λ=1时，解(E-B)x=0，得同解方程为x1+x2+2x3=0，因此对应特征向量为η1= (一2，0，1)T，η2=(一1，1，0)T； ②当λ=4时，解(4E—B)x=0，得同解方程为[*]得对应特征向量为η3=(0，1，1)T． 令P1=(η1，η2，η3)=[*]，因此有P1-1BP1=[*] 再令Q=(α1，α2，α3)，由(1)得B=Q-1AQ． 因此有P1-1Q-1AQP1=[*]．即(QP1)-1A(QP1)=[*] 令P=QP1即得所求．
解析
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考研数学三

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