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设有任意两个n维向量组α1，α2，...，αm和β1，β2，...,βm，若存在两组不全为零的数 λ1，λ2，...，λm,k1，k2，...，km，使(λ1+k1)α+λ2+k2)α2+...+(λm+km)αm+=(λ1-k1)β1+(λ2-k2)β2
设有任意两个n维向量组α1，α2，...，αm和β1，β2，...,βm，若存在两组不全为零的数 λ1，λ2，...，λm,k1，k2，...，km，使(λ1+k1)α+λ2+k2)α2+...+(λm+km)αm+=(λ1-k1)β1+(λ2-k2)β2
admin
2020-03-24
18
问题
设有任意两个n维向量组α
1
，α
2
，...，α
m
和β
1
，β
2
，...,β
m
，若存在两组不全为零的数
λ
1
，λ
2
，...，λ
m
,k
1
，k
2
，...，k
m
，使(λ
1
+k
1
)α
+λ
2
+k
2
)α
2
+...+(λ
m
+k
m
)α
m
+=(λ
1
-k
1
)β
1
+(λ
2
-k
2
)β
2
…+(λ
m
-k
m
)β
m
=0，
则
选项
A、α
1
，α
2
，...，α
m
和β
1
，β
2
，...,β
m
都线性相关．
B、α
1
，α
2
，...，α
m
和β
1
，β
2
，...,β
m
都线性_无关．
C、α
1
+β
1
，α
2
+β
2
…，α
m
+β
m
，α
1
-β
1
，α
2
-β
2
…，α
m
-β
m
线性无关．
D、α
1
+β
1
，α
2
+β
2
…，α
m
+β
m
，α
1
-β
1
，α
2
-β
2
…，α
m
-β
m
线性相关．
答案
D
解析
若向量组γ
1
，γ
2
，...，γ
m
线性无关，即
若x
1
γ
1
+x
2
γ
2
+…+x
s
γ
s
=0，必有x
1
=0，x
2
=0，…，x
s
=0．既然γ
1
，γ
2
，...，γ
m
与k
1
，k
2
，...，k
m
不全为零，
由此推不出某向量组线性无关，故应排除(B)，(C)．
一般情况下，对于
k
1
α
1
+k
2
α
2
…+k
s
α
s
+l
1
β
1
+l
2
β
2
…+l
s
β
s
=0，
不能保证必有k
1
α
1
+k
2
α
2
…+k
s
α
s
=0及l
1
β
1
+l
2
β
2
…+l
s
β
s
=0，，故(A)不正确．
一般情况下，对于
k
1
α
1
+k
2
α
2
…+k
s
α
s
+l
1
β
1
+l
2
β
2
…+l
s
β
s
=0，不能保证必有k
1
α
1
+k
2
α
2
…+k
s
α
s
=0及l
1
β
1
+l
2
β
2
…+l
s
β
s
=0，，故(A)不正确．
λ
1
(α
1
+β
1
)+λ
2
(α
2
+β
2
)…+λ
m
(α
m
+β
m
)+k
1
(α
1
-β
1
)+k
2
(α
2
-β
2
)…+k
m
(α
m
-β
m
)=0，又λ
1
，λ
2
，...，λ
m
，k
1
，k
2
，...，k
m
不全为零，故α
1
+β
1
，α
2
+β
2
…，α
m
+β
m
，α
1
-β
1
，α
2
-β
2
…，α
m
-β
m
线性相关．故应选(D)．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3dD4777K
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考研数学三
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