设二阶常系数齐次线性微分方程y"+by’+y=0的每一个解y(x)都在区间(0，+∞)上有界，则实数b的取值范围是 ( )

admin2019-03-11 37

问题设二阶常系数齐次线性微分方程y"+by’+y=0的每一个解y(x)都在区间(0，+∞)上有界，则实数b的取值范围是 ( )

选项 A、[0，+∞)
B、(一∞，0]
C、(-∞，4]
D、(-∞，+∞)

答案A

解析因为当b≠±2时，y(x)=

，所以，当b²一4＞0时，要想使y(x)在区间(0，+∞)上有界，只需要

当b²一4＜0时，要想使y(x)在区间(0，+∞)上有界，只需要

的实部大于等于零，即0≤b＜2。当b=2时，y(x)=C₁ e^-x+C₂ xe^-x在区间(0，+∞)上有界。当b=一2时， y(x)=C₁ e^x+C₂xe^x (C²+ C²≠0)在区间(0，+∞)上无界，综上所述，当且仅当b≥0时，方程y"+by’+y=0的每一个解y(x)都在区间(0，+∞)上有界，故选(A)．

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考研数学三

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