2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组（1）Anx=0和（2）An+1x=0，现有四个命题： ①（1）的解必是（2）的解； ②（2）的解必是（1）的解； ③（1）的解不是（2）的解； ④（2）的解不是（1）的解。 以上命题中正确的是（ ）

设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组（1）Anx=0和（2）An+1x=0，现有四个命题： ①（1）的解必是（2）的解； ②（2）的解必是（1）的解； ③（1）的解不是（2）的解； ④（2）的解不是（1）的解。 以上命题中正确的是（ ）

admin2019-03-11  55
问题 设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组（1）Anx=0和（2）An+1x=0，现有四个命题：
①（1）的解必是（2）的解；
②（2）的解必是（1）的解；
③（1）的解不是（2）的解；
④（2）的解不是（1）的解。
以上命题中正确的是（     ）
选项 A、①②
B、①④
C、③④
D、②③
答案A
解析 若Anα=0，则An+1α=A（Anα）=A0=0，即若α是（1）的解，则α必是（2）的解，可见命题①正确。
如果An+1α=0，而Anα≠0，那么对于向量组α，Aα，A2α，…，Anα，一方面有：
若kα+k1Aα+k2A2α+…+knAnα=0，用An左乘上式的两边得kAnα=0。由Anα≠0可知必有k=0。类似地可得k1=k2=…=kn=0。因此，α，Aα，A2α，…，Anα线性无关。
但另一方面，这是n+1个n维向量，它们必然线性相关，两者矛盾。故An+1α=0时，必有Anα=0，即（2）的解必是（1）的解。因此命题②正确。
所以应选A。
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考研数学三

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