设矩阵A=(aij)3×3，满足A=A，其中AT为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵．若a11a12，a13为三个相等的正数，则a11为( )．

admin2021-05-21 71

问题设矩阵A=(a_ij)_3×3，满足A^*=A^*，其中A^T为A的伴随矩阵，A^T为A的转置矩阵．若a₁₁a₁₂，a₁₃为三个相等的正数，则a₁₁为( )．

选项 A、

B、3
C、1/3
D、

答案A

解析由题意知A^*=A^T，即有

于是a_ij=A_ij，i，j=1，2，3，｜A｜=a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+a₁₃A₁₃=a₁₁²+a₁₂²+a₁₃²=3a₁₁²＞0．
又由A^*=A^T，两边取行列式并利用｜A^*｜=｜A｜^n-1及｜A^T｜=｜A｜得｜A｜²=｜A｜，从而｜A｜=1，
即3a₁₁²=1，于是

，所以选(A)．

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