2. 考研
  3. 设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0。记n阶矩阵A=αβT。 求矩阵A的特征值和特征向量。

设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0。记n阶矩阵A=αβT。 求矩阵A的特征值和特征向量。

admin2019-02-23  33
问题 设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0。记n阶矩阵A=αβT。
求矩阵A的特征值和特征向量。
选项
答案设λ为A的特征值，则λ2为A2的特征值。因A2=0，所以A2的特征值全为零，故λ=0，即A的特征值全为零，于是方程组Ax=0的非零解就是A的特征向量。不妨设a1≠0，b2≠0，对A作初等行变换得 [*] 则Ax=0的基础解系为 (一b2，b1，0，…，0)T，(一b3，0，b1，…，0)T，…，(一bn，0，0，…，b1)T， 故矩阵A的特征向量为 k1(一b2，b1，0，…，0)T+k2(一b3，0，b1，…，0)T+…+kn—1(一bn，0，0，…，b1)T， 其中k1，k2，…，kn—1不全为零。
解析
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考研数学二

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