设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0。记n阶矩阵A=αβT。求矩阵A的特征值和特征向量。

admin2019-02-23 35

问题设向量α=(a₁，a₂，…，a_n)^T，β=(b₁，b₂，…，b_n)^T都是非零向量，且满足条件α^Tβ=0。记n阶矩阵A=αβ^T。
求矩阵A的特征值和特征向量。

选项

答案设λ为A的特征值，则λ²为A²的特征值。因A²=0，所以A²的特征值全为零，故λ=0，即A的特征值全为零，于是方程组Ax=0的非零解就是A的特征向量。不妨设a₁≠0，b₂≠0，对A作初等行变换得 [*] 则Ax=0的基础解系为 (一b₂，b₁，0，…，0)^T，(一b₃，0，b₁，…，0)^T，…，(一b_n，0，0，…，b₁)^T，故矩阵A的特征向量为 k₁(一b₂，b₁，0，…，0)^T+k₂(一b₃，0，b₁，…，0)^T+…+k_n—1(一b_n，0，0，…，b₁)^T，其中k₁，k₂，…，k_n—1不全为零。

解析

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考研数学二

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设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0。记n阶矩阵A=αβT。求矩阵A的特征值和特征向量。

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