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设函数f(x)在[0,π]上连续,且∫0πf(x)dx=∫0πf(x)cosdx=0。试证明在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0。
设函数f(x)在[0,π]上连续,且∫0πf(x)dx=∫0πf(x)cosdx=0。试证明在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0。
admin
2017-01-13
50
问题
设函数f(x)在[0,π]上连续,且∫
0
π
f(x)dx=∫
0
π
f(x)cosdx=0。试证明在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ
1
,ξ
2
,使f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0。
选项
答案
令F(x)=∫
0
x
f(t)dt,0≤x≤π,则有F(0)=0,F(π)=0。又因为0=∫
0
π
f(x)cosxdx=∫
0
π
cosxdF(x)=F(x)cosx|
0
π
+∫
0
π
F(x)sinxdx=∫
0
π
F(x)sinxdx,所以存在±∈(0,π),使F(ξ)sinξ=0,不然,则在(0,π)内F(x)sinx恒为正或恒为仍.与∫
0
π
F(x)sinxdx=0矛盾,但当ξ∈(0,π)时,sinπ≠0,故F(ξ)=0。由以上证得,存在满足0<ξ<π的ξ,使得F(0)=F(ξ)=F(π)=0,再对F(x)在区间[0,ξ],[ξ,π]上分别用罗尔定理知,至少存在ξ
1
∈(0,ξ),ξ
2
∈(ξ,π),使得F’(ξ
1
)=F’(ξ
2
)=0,即f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0。
解析
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0
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