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  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换x=Qy化为标准形f=3y12－6y22－6yy32，其中矩阵Q的第1列是 求二次型f(x1，x2，x3)的表达式・

已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换x=Qy化为标准形f=3y12－6y22－6yy32，其中矩阵Q的第1列是 求二次型f(x1，x2，x3)的表达式・

admin2017-06-14  55
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换x=Qy化为标准形f=3y12－6y22－6yy32，其中矩阵Q的第1列是

求二次型f(x1，x2，x3)的表达式・
选项
答案由题设A的三个特征值分别为λ1=3，λ2=λ3=－6，且属于λ1=3的特征向量是α1=(1，2，2)T． 设λ2=λ3=－6的特征向量为x=(x1，x2，x3)T，因A是实对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交，有xTα1=0，即 x1+2x2+2x3=0． 得α2=(0，1，－1)T，α3=(2，0，－1)T是属于λ2=λ3=－6的特征向量． 先将α2，α3正交化，有 β2=α2，β3=α3－[*]=(4，－1，1－)T，再将α1，β2，β3单位化，可得 [*] 故所求的二次型为xTAx=－5x12－2x22－2x32+4x1x2+4x1x3+8x2x3．
解析
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考研数学一

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