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已知二次型f(x1,x2,x3)=xTAx经正交变换x=Qy化为标准形f=3y12-6y22-6yy32,其中矩阵Q的第1列是 求二次型f(x1,x2,x3)的表达式・
已知二次型f(x1,x2,x3)=xTAx经正交变换x=Qy化为标准形f=3y12-6y22-6yy32,其中矩阵Q的第1列是 求二次型f(x1,x2,x3)的表达式・
admin
2017-06-14
54
问题
已知二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax经正交变换x=Qy化为标准形f=3y
1
2
-6y
2
2
-6yy
3
2
,其中矩阵Q的第1列是
求二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)的表达式・
选项
答案
由题设A的三个特征值分别为λ
1
=3,λ
2
=λ
3
=-6,且属于λ
1
=3的特征向量是α
1
=(1,2,2)
T
. 设λ
2
=λ
3
=-6的特征向量为x=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,因A是实对称矩阵,不同特征值的特征向量相互正交,有x
T
α
1
=0,即 x
1
+2x
2
+2x
3
=0. 得α
2
=(0,1,-1)
T
,α
3
=(2,0,-1)
T
是属于λ
2
=λ
3
=-6的特征向量. 先将α
2
,α
3
正交化,有 β
2
=α
2
,β
3
=α
3
-[*]=(4,-1,1-)
T
,再将α
1
,β
2
,β
3
单位化,可得 [*] 故所求的二次型为x
T
Ax=-5x
1
2
-2x
2
2
-2x
3
2
+4x
1
x
2
+4x
1
x
3
+8x
2
x
3
.
解析
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考研数学一
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