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  3. 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，E是m阶单位矩阵，若AB=E，则( )

设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，E是m阶单位矩阵，若AB=E，则( )

admin2021-02-25  22
问题 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，E是m阶单位矩阵，若AB=E，则(              )
选项 A、秩r(A)=m，秩r(B)=m
B、秩r(A)=m，秩r(B)=n
C、秩r(A)=n，秩r(B)=m
D、秩r(A)=n，秩r(B)=n
答案A
解析 本题考查矩阵求秩的有关公式．
由矩阵秩的性质可得
    r(A)≤min{m，n}≤m，r(B)≤min{m，n}≤m．
又由AB=E可知
    m=r(E)=r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，
从而有r(A)≥m及r(B)≥m．所以，
    r(A)=r(B)=m．
故应选A．
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考研数学二

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