设函数f(x)在区间[0，＋∞)上连续可导，f(0)＝1，且对任意t＞0，曲线y＝f(x)与直线x＝0，x＝t，y＝0所围图形的面积与曲线y＝f(x)在[0，t]上的一段弧长相等，求f(x)．

admin2021-04-07 39

问题设函数f(x)在区间[0，＋∞)上连续可导，f(0)＝1，且对任意t＞0，曲线y＝f(x)与直线x＝0，x＝t，y＝0所围图形的面积与曲线y＝f(x)在[0，t]上的一段弧长相等，求f(x)．

选项

答案曲线y＝f(x)与直线x＝0，x＝t，y＝0所围图形的面积为∫₀^t∣f(x)∣dx，曲线y＝f(x)在[0，t]上的一段弧长值为[*] 根据题设条件，知 [*] 两边对t求导数，得 [*] 解得lnC([*])＝±x，再由f(0)＝1可解得C＝1，因此[*]＝e^±x，由此解得f(x)＝[*]

解析

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考研数学二

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