2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上可导，f’(x)+[f(x)]2一∫0xf(t)dt=0，且∫abf(t)dt=0。证明： ∫axf(t)dt在(a，b)的极大值不能为正，极小值不能为负；

设f(x)在[a，b]上可导，f’(x)+[f(x)]2一∫0xf(t)dt=0，且∫abf(t)dt=0。证明： ∫axf(t)dt在(a，b)的极大值不能为正，极小值不能为负；

admin2018-12-19  47
问题 设f(x)在[a，b]上可导，f’(x)+[f(x)]2一∫0xf(t)dt=0，且∫abf(t)dt=0。证明：
∫axf(t)dt在(a，b)的极大值不能为正，极小值不能为负；
选项
答案记F(x)=∫axf(t)dt，假设F(x)在(a，b)内能取到正的极大值，且记该极大值点为x0， 于是F’(x0)=0，F(x0)＞0，即f(x0)=0，∫ax0f(t)dt＞0。 在方程f’(x)+[f(x)]0一∫axf(t)dt=0中令x=x0，得F’’(x0)=∫ax0f(t)dt＞0，故F(x0)应是极小值，这与假设矛盾。所以∫axf(t)dt在(a，b)的极大值不能为正，极小值不能为负。
解析
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考研数学二

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