(2013年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)＋(b1χ1＋b2χ2＋b3χ3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

admin2016-05-30 79

问题 (2013年)设二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝2(a₁χ₁＋a₂χ₂＋a₃χ₃)＋(b₁χ₁＋b₂χ₂＋b₃χ₃)²，记

(Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2αα^T＋ββ^T．
(Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

选项

答案[*] 又2αα^T＋ββ^T为对称矩阵，所以二次型f的矩阵为2αα^T＋ββ^T． (Ⅱ)记矩阵A＝2αα^T＋ββ^T．由于α，β正交且为单位向量，即α^Tα＝1，β^Tβ＝1，α^Tβ＝β^Tα＝0，所以 Aα＝(2αα^T＋ββ^T)α＝2α， Aβ＝(2αα^T＋ββ^T)β＝β，于是λ₁＝2，λ₂＝1是矩阵A的特征值．又 r(A)＝r(2αα^*＋ββ^*)≤r(2αα^*)＋r(ββ^*)≤2，所以λ₃＝0是矩阵A的特征值．由于f在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值，故f在正交变换下的标准形为2y₁²＋y₂²．

解析

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考研数学二

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(2013年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)＋(b1χ1＋b2χ2＋b3χ3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

考研数学二

设z=z(x，y)二阶连续可偏导且满足方程在变换下，原方程化为求a，b的值．

设A为三阶矩阵，α1，α2，α3为三维线性无关列向量组，且有Aα1=α2+α3，Aα2一α3+α1，Aα3=α1+α2．(1)求A的全部特征值；(2)A是否可对角化？

对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X).E(Y)，则()．

设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导．(Ⅰ)若f(x)=0,f(x)＜0，f’+(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)f"(ξ)+f’2(ξ)=0．(Ⅱ)若f(a)=f(b)=∫0bf(x)dx=0，证明：存在η∈(a，b)，使

计算，其中r=(x-x0)i+(y-y0)j+(z-z0)k，r=｜r｜，n是曲面∑的外法向量，点M0(x0，y0，z0)是定点，点M(x，y，z)是动点，研究以下两种情况：(1)点M0(x0，y0，z0)在的∑外部；(2)点M0(x0，y0，z0)在

设矩阵是满秩的，则直线与直线()．

函数f，g的二阶偏导数均存在，z=f[xy，lnx+g(xy)]，求的值．

设随机变量X的密度函数为f(x)，且f(x)为偶函数，X的分布函数为F(x)，则对任意实数a，有().

若在x=1处连续，求a的值。

设为连续函数，试确定a和b的值。

内脏损伤后，防治休克的措施是

患者，男，42岁。患慢性阑尾炎3年，经常反复发作，发时右下腹隐隐疼痛，痛处固定不移，腹皮微急，伴轻度恶心欲吐，便干溲黄，舌苔薄黄，脉弦。治疗应首选（　　）。

招标投标制度在大胆探索和创立时期具有的特点包括（）。

折旧率随着使用年限的变化而变化的固定资产折旧计算方法是()。

飞机库的每个防火分区至少应有两个直通室外的安全出口，其最远工作地点到安全出口的距离不应大于()m。

关于奥肯定律的含义和作用的说法，正确的有()。

学校开展各类活动的最基本的基础组织是()。

在法国小学用汉语教数学体现了沉浸式外语教学的理念．()

Smallbusinessownersmustaccepttheburdensofentrepreneurship.Beinginbusinessforyour-selfrequiresyourfullattention

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设A为三阶矩阵，α1，α2，α3为三维线性无关列向量组，且有Aα1=α2+α3，Aα2一α3+α1，Aα3=α1+α2．(1)求A的全部特征值；(2)A是否可对角化？

对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X).E(Y)，则()．

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计算，其中r=(x-x0)i+(y-y0)j+(z-z0)k，r=｜r｜，n是曲面∑的外法向量，点M0(x0，y0，z0)是定点，点M(x，y，z)是动点，研究以下两种情况：(1)点M0(x0，y0，z0)在的∑外部；(2)点M0(x0，y0，z0)在

设矩阵是满秩的，则直线与直线()．

函数f，g的二阶偏导数均存在，z=f[xy，lnx+g(xy)]，求的值．

设随机变量X的密度函数为f(x)，且f(x)为偶函数，X的分布函数为F(x)，则对任意实数a，有().

若在x=1处连续，求a的值。

设为连续函数，试确定a和b的值。

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患者，男，42岁。患慢性阑尾炎3年，经常反复发作，发时右下腹隐隐疼痛，痛处固定不移，腹皮微急，伴轻度恶心欲吐，便干溲黄，舌苔薄黄，脉弦。治疗应首选（　　）。