(2013年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)＋(b1χ1＋b2χ2＋b3χ3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

admin2016-05-30 125

问题 (2013年)设二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝2(a₁χ₁＋a₂χ₂＋a₃χ₃)＋(b₁χ₁＋b₂χ₂＋b₃χ₃)²，记

(Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2αα^T＋ββ^T．
(Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

选项

答案[*] 又2αα^T＋ββ^T为对称矩阵，所以二次型f的矩阵为2αα^T＋ββ^T． (Ⅱ)记矩阵A＝2αα^T＋ββ^T．由于α，β正交且为单位向量，即α^Tα＝1，β^Tβ＝1，α^Tβ＝β^Tα＝0，所以 Aα＝(2αα^T＋ββ^T)α＝2α， Aβ＝(2αα^T＋ββ^T)β＝β，于是λ₁＝2，λ₂＝1是矩阵A的特征值．又 r(A)＝r(2αα^*＋ββ^*)≤r(2αα^*)＋r(ββ^*)≤2，所以λ₃＝0是矩阵A的特征值．由于f在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值，故f在正交变换下的标准形为2y₁²＋y₂²．

解析

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考研数学二

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(2013年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)＋(b1χ1＋b2χ2＋b3χ3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

考研数学二

设z=z(x，y)二阶连续可偏导且满足方程在变换下，原方程化为求a，b的值．

设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵P－1AP属于特征值λ的特征向量是()．

对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X).E(Y)，则()．

设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导．(Ⅰ)若f(x)=0,f(x)＜0，f’+(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)f"(ξ)+f’2(ξ)=0．(Ⅱ)若f(a)=f(b)=∫0bf(x)dx=0，证明：存在η∈(a，b)，使

已知α1=(1,2,3)T,α2=(－2,1,－1)T和β1=(4,－2,α)T，β2=(7,b,4)T是等价向量组，则参数a,b应分别为()。

已知4维列向量α1,α2,α3线性无关，若βi(i=1，2，3，4)非零且与α1,α2,α3均正交，则秩r(β1，β2，β3，β4)=

求常数项级数的和：

设an=∫0π/4tannxdx，证明：对任意常数λ＞0，级数收敛．

已知=∫0+∞4x2e-2xdx，求常数a的值。

设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=0，已知A的秩r(A)=2．求A的全部特征值；

画出图Ⅱ-15所示三相变压器的位形图，并判断其连接组别。

劳神过度易损伤的内脏是

关于儿童颌骨骨折的治疗，哪项是错误的

患者，女，45岁，食欲不振数日，症见嗳气吞酸、腹胀泄泻，证属脾胃虚弱、中气不和，治当健脾和胃，宜选用的中成药是

对使用新能源车船、节约能源车船的，免征车船税。()

以美国教育家杜威为代表的现代教育派倡导的“三中心”是()。

正如党的十七大报告所总结的：“改革开放不是一蹴而就的”，改革开放不是一次轻松浪漫的旅行，而是一次决定中华民族历史命运的伟大远航，它有___________的时刻，也时常充满惊涛骇浪。填入画横线部分最恰当的一项是()。

Swisswatchmakershavefirmlyestablishedthemselvesastheworld’sleadingwatchmakersoverthepastthreecenturies.Withare

Amajorreasonforconflictintheanimalworldisterritory.Themaleanimal【C1】__anarea.Thesizeoftheareais【C2】

ItisknowntousthatEnglishisnotasoldasChinese,butitiswidelyusedbymostpeopleallovertheworld.Englishspeake

(2013年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)＋(b1χ1＋b2χ2＋b3χ3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

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设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵P－1AP属于特征值λ的特征向量是()．

对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X).E(Y)，则()．

设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导．(Ⅰ)若f(x)=0,f(x)＜0，f’+(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)f"(ξ)+f’2(ξ)=0．(Ⅱ)若f(a)=f(b)=∫0bf(x)dx=0，证明：存在η∈(a，b)，使

已知α1=(1,2,3)T,α2=(－2,1,－1)T和β1=(4,－2,α)T，β2=(7,b,4)T是等价向量组，则参数a,b应分别为()。

已知4维列向量α1,α2,α3线性无关，若βi(i=1，2，3，4)非零且与α1,α2,α3均正交，则秩r(β1，β2，β3，β4)=

求常数项级数的和：

设an=∫0π/4tannxdx，证明：对任意常数λ＞0，级数收敛．

已知=∫0+∞4x2e-2xdx，求常数a的值。

设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=0，已知A的秩r(A)=2．求A的全部特征值；

画出图Ⅱ-15所示三相变压器的位形图，并判断其连接组别。

劳神过度易损伤的内脏是

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患者，女，45岁，食欲不振数日，症见嗳气吞酸、腹胀泄泻，证属脾胃虚弱、中气不和，治当健脾和胃，宜选用的中成药是

对使用新能源车船、节约能源车船的，免征车船税。()

以美国教育家杜威为代表的现代教育派倡导的“三中心”是()。

正如党的十七大报告所总结的：“改革开放不是一蹴而就的”，改革开放不是一次轻松浪漫的旅行，而是一次决定中华民族历史命运的伟大远航，它有___________的时刻，也时常充满惊涛骇浪。填入画横线部分最恰当的一项是()。

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