2. 考研
  3. (2013年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)＋(b1χ1＋b2χ2＋b3χ3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

(2013年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)＋(b1χ1＋b2χ2＋b3χ3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

admin2016-05-30  123
问题 (2013年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)＋(b1χ1＋b2χ2＋b3χ3)2，记

    (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT．
    (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为
选项
答案[*] 又2ααT＋ββT为对称矩阵，所以二次型f的矩阵为2ααT＋ββT． (Ⅱ)记矩阵A＝2ααT＋ββT．由于α，β正交且为单位向量，即αTα＝1，βTβ＝1，αTβ＝βTα＝0，所以 Aα＝(2ααT＋ββT)α＝2α， Aβ＝(2ααT＋ββT)β＝β， 于是λ1＝2，λ2＝1是矩阵A的特征值．又 r(A)＝r(2αα*＋ββ*)≤r(2αα*)＋r(ββ*)≤2， 所以λ3＝0是矩阵A的特征值．由于f在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值，故f在正交变换下的标准形为2y12＋y22．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/t734777K
0

考研数学二

相关试题推荐
随机试题
最新回复(0)