(2013年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)＋(b1χ1＋b2χ2＋b3χ3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

admin2016-05-30 119

问题 (2013年)设二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝2(a₁χ₁＋a₂χ₂＋a₃χ₃)＋(b₁χ₁＋b₂χ₂＋b₃χ₃)²，记

(Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2αα^T＋ββ^T．
(Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

选项

答案[*] 又2αα^T＋ββ^T为对称矩阵，所以二次型f的矩阵为2αα^T＋ββ^T． (Ⅱ)记矩阵A＝2αα^T＋ββ^T．由于α，β正交且为单位向量，即α^Tα＝1，β^Tβ＝1，α^Tβ＝β^Tα＝0，所以 Aα＝(2αα^T＋ββ^T)α＝2α， Aβ＝(2αα^T＋ββ^T)β＝β，于是λ₁＝2，λ₂＝1是矩阵A的特征值．又 r(A)＝r(2αα^*＋ββ^*)≤r(2αα^*)＋r(ββ^*)≤2，所以λ₃＝0是矩阵A的特征值．由于f在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值，故f在正交变换下的标准形为2y₁²＋y₂²．

解析

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考研数学二

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(2013年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)＋(b1χ1＋b2χ2＋b3χ3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

考研数学二

设A为三阶矩阵，α1，α2，α3为三维线性无关列向量组，且有Aα1=α2+α3，Aα2一α3+α1，Aα3=α1+α2．(1)求A的全部特征值；(2)A是否可对角化？

已知α1=(1,2,3)T,α2=(－2,1,－1)T和β1=(4,－2,α)T，β2=(7,b,4)T是等价向量组，则参数a,b应分别为()。

A为四阶方阵，方程组AX=0的通解为x=k1(1，0，1，0)T+k2(0，0，0，1)T，A的伴随矩阵为A，则秩(A)*=()．

已知4维列向量α1,α2,α3线性无关，若βi(i=1，2，3，4)非零且与α1,α2,α3均正交，则秩r(β1，β2，β3，β4)=

函数y=Cx+(其中C为任意常数)对微分方程而言()．

设an=∫0π/4tannxdx，证明：对任意常数λ＞0，级数收敛．

在第Ⅰ象限内作椭球面的切平面，使该切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，并求切点坐标．

已知函数z=f(x，y)可微，f(0，0)=0，fx(0，0)=a，fy(0，0)=b，且g(t)=etf(t，f(t，t))，求g’(0)的值．

设函数f(x)在(-∞，+∞)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y＞0)内的有向光滑曲线，其起点为点(a，b)，终点为点(c，d)，记当ab=cd时，求I的值．

同一个领导层次的机关团体，或者一个机关团体中的各个构成单位，完全集中于一位上级领导或一个上级机关团体的指挥、控制和监督。这种领导体制我们称作

已知某厂生产x件产品的成本为C(x)=25000+200x+x2(元)，产品产量x与价格P之间的关系为：P(x)=440一x(元)。求：要使平均成本最小，应生产多少件产品?

24岁，农民，10天前劳动中砍伤足背，未特殊处理。今日觉乏力，烦躁，饮水时张口费力。应考虑的诊断是

根据三级预防的原则，在劳动卫生及职业病工作中，不属于第二级预防工作的是哪一项

在我国基本建设所用的“三大建筑材料”通常是指：[1995年第002题][2006年第001题]

某上市公司针对经常出现中小股东质询管理层的情况，拟采取措施协调所有者与经营者的矛盾。下列各项中，不能实现上述目的的是()。

下列关于企业所得税适用税率的说法中，不正确的是()。

【2016下】美国学者孟禄根据原始社会没有学校、没有教师、没有教材的史实，断言教育起源于儿童对成人的无意识的模仿。这种观点被称为()。

A、 B、 C、 D、 A分数数列。原式可化为，分子是公差为4的等差数列，分母是公差为3的等差数列，因此中间项为。

从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。()

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24岁，农民，10天前劳动中砍伤足背，未特殊处理。今日觉乏力，烦躁，饮水时张口费力。应考虑的诊断是

根据三级预防的原则，在劳动卫生及职业病工作中，不属于第二级预防工作的是哪一项

在我国基本建设所用的“三大建筑材料”通常是指：[1995年第002题][2006年第001题]

某上市公司针对经常出现中小股东质询管理层的情况，拟采取措施协调所有者与经营者的矛盾。下列各项中，不能实现上述目的的是()。

下列关于企业所得税适用税率的说法中，不正确的是()。

【2016下】美国学者孟禄根据原始社会没有学校、没有教师、没有教材的史实，断言教育起源于儿童对成人的无意识的模仿。这种观点被称为()。

A、 B、 C、 D、 A分数数列。原式可化为，分子是公差为4的等差数列，分母是公差为3的等差数列，因此中间项为。

从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。()

A为四阶方阵，方程组AX=0的通解为x=k1(1，0，1，0)T+k2(0，0，0，1)T，A的伴随矩阵为A，则秩(A)*=()．