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设A=(aij)为n阶方阵,证明:对任意的n维列向量X.都有XTAX=0→A为反对称矩阵.
设A=(aij)为n阶方阵,证明:对任意的n维列向量X.都有XTAX=0→A为反对称矩阵.
admin
2018-07-31
44
问题
设A=(a
ij
)为n阶方阵,证明:对任意的n维列向量X.都有X
T
AX=0→A为反对称矩阵.
选项
答案
必要性:取X=ε
j
=(0,…,0,1,0,…,0)
T
(第j个分量为1,其余分量全为零的n维列向量),则由0=ε
j
T
Aε
j
=a
jj
,及i≠j时,有0=(ε
i
+ε
j
)
T
A(ε
i
+ε
j
)=ε
i
T
Aε
i
+ε
i
T
Aε
j
+ε
j
T
Aε
i
+ε
j
T
Aε
j
=0+a
ij
+a
ji
+0=a
ij
+a
ji
,可知A为反对称矩阵.充分性:若A
T
=一A,则X
T
A
T
X=一X
T
AX,又X
T
A
T
X为1阶方阵.其转置不变,因而有X
T
A
T
X=(X
T
A
T
X)
T
=X
T
AX→X
T
AX=一X
T
AX→2X
T
AX=0→X
T
AX=0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3wg4777K
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考研数学一
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