设A=(aij)为n阶方阵,证明:对任意的n维列向量X.都有XTAX=0→A为反对称矩阵.

admin2018-07-31  22

问题 设A=(aij)为n阶方阵,证明:对任意的n维列向量X.都有XTAX=0→A为反对称矩阵.

选项

答案必要性:取X=εj=(0,…,0,1,0,…,0)T(第j个分量为1,其余分量全为零的n维列向量),则由0=εjTj=ajj,及i≠j时,有0=(εij)TA(εij)=εiTiiTjjTijTj=0+aij+aji+0=aij+aji,可知A为反对称矩阵.充分性:若AT=一A,则XTATX=一XTAX,又XTATX为1阶方阵.其转置不变,因而有XTATX=(XTATX)T=XTAX→XTAX=一XTAX→2XTAX=0→XTAX=0.

解析
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