设A=(aij)为n阶方阵，证明：对任意的n维列向量X．都有XTAX=0→A为反对称矩阵．

admin2018-07-31 26

问题设A=(a_ij)为n阶方阵，证明：对任意的n维列向量X．都有X^TAX=0→A为反对称矩阵．

选项

答案必要性：取X=ε_j=(0，…，0，1，0，…，0)^T(第j个分量为1，其余分量全为零的n维列向量)，则由0=ε_j^TAε_j=a_jj，及i≠j时，有0=(ε_i+ε_j)^TA(ε_i+ε_j)=ε_i^TAε_i+ε_i^TAε_j+ε_j^TAε_i+ε_j^TAε_j=0+a_ij+a_ji+0=a_ij+a_ji，可知A为反对称矩阵．充分性：若A^T=一A，则X^TA^TX=一X^TAX，又X^TA^TX为1阶方阵．其转置不变，因而有X^TA^TX=(X^TA^TX)^T=X^TAX→X^TAX=一X^TAX→2X^TAX=0→X^TAX=0．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3wg4777K

考研数学一

相关试题推荐

设A为n阶正定矩阵．证明：对任意的可逆矩阵P，PTAP为正定矩阵．
设A，B为n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n．证明：A，B有公共的特征向量．
设
设f(x)在[0，a](a＞0)上非负、二阶可导，且f(0)=0，f"(x)＞0，为y=f(x)，y=0，x=a围成区域的形心，证明：．
设A(—1，0，4)，π：3x—4y+z+10=0，L：，求一条过点A与平面π平行，且与直线L相交的直线方程．
设矩薛A满足(2E一C-1B)AT=C-1，且B=，求矩阵A．
设A为n阶矩阵，k为常数，则(kA)*等于()．
设B是秩为2的5×4矩阵，α1=(1，1，2，3)T，α2=(一1，1，4，一1)T，α3=(5，一1，一8，9)T是齐次线性方程组Bx=0的解向量，求Bx=0的解空间的一个规范正交基．
设n阶方阵A≠0，满足Am=0(其中m为某正整数)．证明：A不相似于对角矩阵．
设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有4个命题：①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)；②若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A

随机试题

A、0B、1C、eD、-∞D
患者，女，35岁。长期便秘，近两个月来排便时及排便后剧烈疼痛，粪便表面带少量出血，考虑最可能是()。
不属于非处方药的是
瓦斯压力是衡量煤层瓦斯含量大小的一个重要指标，也是抽放瓦斯和防止煤与瓦斯突出的重要依据之一。下列选项中，不属于瓦斯压力测定的方法是()。
关于砌体结构房屋预防地震经常采用的措施的说法，不正确的是（）。
甲曾担任某国有独资公司董事，后因违反规定造成国有资产重大损失被免职。根据企业国有资产法律制度的规定，甲自被免职之日起一定期限内，不得再担任国有独资公司董事。该期限是()。
建立现代企业制度是国有企业改革的重要内容之一。()
在《题软屏》中，形容吴山为“提兵百万西湖上，立马吴山第一峰”的人物是()。
一个人在对现实的稳定的态度和习惯化了的行为方式中表现出来的人格特征是()
有三个关系R、S和T如下：则由关系R和S得到关系T的操作是

最新回复(0)

设A=(aij)为n阶方阵，证明：对任意的n维列向量X．都有XTAX=0→A为反对称矩阵．

考研数学一

设A为n阶正定矩阵．证明：对任意的可逆矩阵P，PTAP为正定矩阵．

设A，B为n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n．证明：A，B有公共的特征向量．

设

设f(x)在[0，a](a＞0)上非负、二阶可导，且f(0)=0，f"(x)＞0，为y=f(x)，y=0，x=a围成区域的形心，证明：．

设A(—1，0，4)，π：3x—4y+z+10=0，L：，求一条过点A与平面π平行，且与直线L相交的直线方程．

设矩薛A满足(2E一C-1B)AT=C-1，且B=，求矩阵A．

设A为n阶矩阵，k为常数，则(kA)*等于()．

设B是秩为2的5×4矩阵，α1=(1，1，2，3)T，α2=(一1，1，4，一1)T，α3=(5，一1，一8，9)T是齐次线性方程组Bx=0的解向量，求Bx=0的解空间的一个规范正交基．

设n阶方阵A≠0，满足Am=0(其中m为某正整数)．证明：A不相似于对角矩阵．

设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有4个命题：①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)；②若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A

A、0B、1C、eD、-∞D

患者，女，35岁。长期便秘，近两个月来排便时及排便后剧烈疼痛，粪便表面带少量出血，考虑最可能是()。

不属于非处方药的是

瓦斯压力是衡量煤层瓦斯含量大小的一个重要指标，也是抽放瓦斯和防止煤与瓦斯突出的重要依据之一。下列选项中，不属于瓦斯压力测定的方法是()。

关于砌体结构房屋预防地震经常采用的措施的说法，不正确的是（）。

甲曾担任某国有独资公司董事，后因违反规定造成国有资产重大损失被免职。根据企业国有资产法律制度的规定，甲自被免职之日起一定期限内，不得再担任国有独资公司董事。该期限是()。

建立现代企业制度是国有企业改革的重要内容之一。()

在《题软屏》中，形容吴山为“提兵百万西湖上，立马吴山第一峰”的人物是()。

一个人在对现实的稳定的态度和习惯化了的行为方式中表现出来的人格特征是()

有三个关系R、S和T如下：则由关系R和S得到关系T的操作是