设A=(aij)为n阶方阵，证明：对任意的n维列向量X．都有XTAX=0→A为反对称矩阵．

admin2018-07-31 42

问题设A=(a_ij)为n阶方阵，证明：对任意的n维列向量X．都有X^TAX=0→A为反对称矩阵．

选项

答案必要性：取X=ε_j=(0，…，0，1，0，…，0)^T(第j个分量为1，其余分量全为零的n维列向量)，则由0=ε_j^TAε_j=a_jj，及i≠j时，有0=(ε_i+ε_j)^TA(ε_i+ε_j)=ε_i^TAε_i+ε_i^TAε_j+ε_j^TAε_i+ε_j^TAε_j=0+a_ij+a_ji+0=a_ij+a_ji，可知A为反对称矩阵．充分性：若A^T=一A，则X^TA^TX=一X^TAX，又X^TA^TX为1阶方阵．其转置不变，因而有X^TA^TX=(X^TA^TX)^T=X^TAX→X^TAX=一X^TAX→2X^TAX=0→X^TAX=0．

解析

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考研数学一

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