2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1＝(－1，2，－1)T，α2＝(0，－1，1)T是线性方程组Aχ＝0的两个解． (1)求A的特征值与特征向量； (2)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ＝∧．

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1＝(－1，2，－1)T，α2＝(0，－1，1)T是线性方程组Aχ＝0的两个解． (1)求A的特征值与特征向量； (2)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ＝∧．

admin2021-11-15  19
问题 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1＝(－1，2，－1)T，α2＝(0，－1，1)T是线性方程组Aχ＝0的两个解．
    (1)求A的特征值与特征向量；
    (2)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ＝∧．
选项
答案(1)因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以有 [*] 则由特征值和特征向量的定义知，λ＝3是矩阵A的特征值，α＝(1，1，1)T是对应的特征向量．对应λ＝－3的全部特征向量为kα(1，1，1)T，其中k为不为零的常数． 又由题设知Aα1＝0，Aα2＝0，即Aα1＝0.α1，Aα2＝0.α2，而且α1，α2线性无关，所以λ＝0是矩阵A的二重特征值，α1，α2是其对应的特征向量，因此对应λ＝0的全部特征向量为k1α1＋k2α2＝k1，(－1，2，－1)T＋k2(0，－1，1)T，其中k1，k2为不全为零的常数． (2)因为A是实对称矩阵，所以α与α1，α2正交，所以只需将α1与α2正交． 由施密特正交化法，取 β1＝α1β2＝α2－[*] 再将α，β1，β2单位化，得 [*] 令Q＝(η1，η2，η3)，则Q-1＝QT，由A是实对称矩阵必可相似对角化，得 QTAQ＝[*]＝∧
解析
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考研数学一

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