设f(x)二阶可导，且f(1)＝1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’(ξ)－2f’(ξ)＝﹣2.

admin2020-01-12 46

问题设f(x)二阶可导，

且f(1)＝1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f^’’(ξ)－2f^’(ξ)＝﹣2.

选项

答案由[*]得f(0)＝0，f^’(0)＝1；由拉格朗日中值定理，存在c∈(0，1)，使得[*]令φ(x)＝e^﹣2x[f^’(x)－1]，φ(0)＝φ(c)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，c)[*](0，1)，使得φ^’(ξ)＝0，而φ^’(x)＝﹣2e^﹣2x[f^’(x)－1]＋e^﹣2xf^’’(x)＝e^﹣2x[f^’’(x)－2f^’(z)＋2]，且e^﹣2x≠0，故f^’’(ξ)－2f^’(ξ)＝﹣2．

解析

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考研数学三

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