2. 考研
  3. 设f(x)二阶可导，且f(1)＝1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’(ξ)－2f’(ξ)＝﹣2.

设f(x)二阶可导，且f(1)＝1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’(ξ)－2f’(ξ)＝﹣2.

admin2020-01-12  29
问题 设f(x)二阶可导，且f(1)＝1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’(ξ)－2f’(ξ)＝﹣2.
选项
答案由[*]得f(0)＝0，f’(0)＝1；由拉格朗日中值定理，存在c∈(0，1)，使得[*]令φ(x)＝e﹣2x[f’(x)－1]，φ(0)＝φ(c)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，c)[*](0，1)，使得φ’(ξ)＝0，而φ’(x)＝﹣2e﹣2x[f’(x)－1]＋e﹣2xf’’(x)＝e﹣2x[f’’(x)－2f’(z)＋2]，且e﹣2x≠0，故f’’(ξ)－2f’(ξ)＝﹣2．
解析
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考研数学三

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