设f(u,v)具有连续偏导数,且fu(u,v)+fv(u,v)=sin(u+v)eu+v,求y(x)=e—2xf(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解。

admin2019-07-19  25

问题 设f(u,v)具有连续偏导数,且fu(u,v)+fv(u,v)=sin(u+v)eu+v,求y(x)=e—2xf(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解。

选项

答案由y(x)=e—2xf(x,x),有 y′(x)= —2e—2xf(x,x)+e—2x[f′1(x,x)+f′2(x,x)], 由fu(u,v)+fv(u,v)=sin(u+v)eu+r可得 f′1(x,x)+f′2(x,x)=(sin2x)e2x。 于是y(x)满足一阶线性微分方程y′(x)+2y(x)=sin2x,通解为 y(x)=e—2x[∫sin2x.e2xdx+C], 由分部积分公式,可得 ∫sin2x.e2xdx=[*](sin2x—cos2x)e2x, 所以 y(x)=[*](sin2x—cos2x)+Ce—2x,其中C为任意常数。

解析
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