设f(u，v)具有连续偏导数，且fu(u，v)+fv(u，v)=sin(u+v)eu+v，求y(x)=e—2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。

admin2019-07-19 59

问题设f(u，v)具有连续偏导数，且f_u(u，v)+f_v(u，v)=sin(u+v)e_u+v，求y(x)=e^—2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。

选项

答案由y(x)=e^—2xf(x，x)，有 y′(x)= —2e^—2xf(x，x)+e^—2x[f′₁(x，x)+f′₂(x，x)]，由f_u(u，v)+f_v(u，v)=sin(u+v)e^u+r可得 f′₁(x，x)+f′₂(x，x)=(sin2x)e^2x。于是y(x)满足一阶线性微分方程y′(x)+2y(x)=sin2x，通解为 y(x)=e^—2x[∫sin2x.e^2xdx+C]，由分部积分公式，可得 ∫sin2x.e^2xdx=[*](sin2x—cos2x)e^2x，所以 y(x)=[*](sin2x—cos2x)+Ce^—2x，其中C为任意常数。

解析

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考研数学一

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