设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )

admin2018-11-22 59

问题设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P^-1AP)^T属于特征值λ的特征向量是( )

选项 A、P^-1α
B、P^Tα
C、Pα
D、(P^-1)^Tα

答案B

解析设B是矩阵(P^-1AP^-1)属于λ的特征向量，并考虑到A为实对称矩阵A^T＝A，有
(P^-1AP)^Tβ＝λβ，即P^TA(P^-1)^T＝λβ．
把四个选项中的向量逐一代入上式替换β，同时考虑到Aα＝λα，可得选项B正确，即
左端＝P^TA(P^-1)^T(P^Tα)＝P^TAα＝P^Tλα＝λP^Tα＝右端
所以府诜B．

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