设 F(x)=∫0tf(t)dt，则F(x)在[0,2]上

admin2017-11-23 19

问题设

F(x)=∫₀^tf(t)dt，则F(x)在[0,2]上

选项 A、有界，不可积
B、可积，有间断点
C、连续，有不可导点
D、可导

答案C

解析先求出分段函数f(x)的变限积分．当0≤x≤1时，
F(x)=∫₀^xf(t)dt=∫₀^xπcosπtdt=sinπx；
当1＜x≤2时，
F(x)=∫₀¹f(t)dt+∫₁^xf(t)dt=∫₀¹πcosπtdt+∫₁^x(t-1)dt

易验证F(x)在[0，2]上连续
当x≠1时显然F(x)可导，且
F’_-(1)=(sinπx)’｜_x=1=πcosπx｜_x=1=一π，
F’₊(1)=(

(x-1)²)’｜_x=1=(x-1)｜_x=1=0， F’₊(1)≠F’_-(1)．
=>F(x)在点x=1处不可导．故应选C．

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