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  3. 设 F(x)=∫0tf(t)dt，则F(x)在[0,2]上

设 F(x)=∫0tf(t)dt，则F(x)在[0,2]上

admin2017-11-23  32
问题 设

F(x)=∫0tf(t)dt，则F(x)在[0,2]上
选项 A、有界，不可积
B、可积，有间断点
C、连续，有不可导点
D、可导
答案C
解析 先求出分段函数f(x)的变限积分．当0≤x≤1时，
    F(x)=∫0xf(t)dt=∫0xπcosπtdt=sinπx；
    当1＜x≤2时，
    F(x)=∫01f(t)dt+∫1xf(t)dt=∫01πcosπtdt+∫1x(t-1)dt

易验证F(x)在[0，2]上连续
当x≠1时显然F(x)可导，且
    F’-(1)=(sinπx)’｜x=1=πcosπx｜x=1=一π，
     F’+(1)=((x-1)2)’｜x=1=(x-1)｜x=1=0， F’+(1)≠F’-(1)．
=>F(x)在点x=1处不可导．故应选C．
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考研数学一

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