求f(x,y)=x+xy—x2一y2在闭区域D={(x,y)1 0≤x≤1,0≤y≤2}上的最大值和最小值.

admin2015-07-04  36

问题 求f(x,y)=x+xy—x2一y2在闭区域D={(x,y)1 0≤x≤1,0≤y≤2}上的最大值和最小值.

选项

答案这是闭区域上求最值的问题.由于函数f(x,y)=x+xy一x2一y2在闭区域D上连续,所以一定存在最大值和最小值.首先求f(x,y)=x+xy—x2一y2在闭区域D内部的极值:解方程组[*]得区域D内部唯一的驻点为[*]由g(x,y)=(fxy’’)2一fxx’’fyy’’=一3,得f(x,y)=x+xy—x2一y2在闭区域D内部的极大值[*]再求f(x,y)在闭区域D边界上的最大值与最小值:这是条件极值问题,边界直线方程即为约束条件.在z轴上约束条件为y=0(0≤x≤1),于是拉格朗日函数为 F(x,y,λ)=x+xy—x2一y2+λy,解方程组[*] 在下面边界的端点(0,0),(1,0)处f(0,0)=0,f(1,0)=0,所以,下面边界的最大值为[*],最小值为0. 同理可求出:在上面边界上的最大值为一2,最小值为一4; 在左面边界上的最大值为0,最小值为一4;在右面边界上的最大值为[*],最小值为一2.比较以上各值,可知函数f(x,y)=x+xy一x2一y2在闭区域D上的最大值为[*],最小值为一4.

解析
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