求曲线y=x2-2x、y=0、x=1、x=3所闱成区域的面积S，并求该区域绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V．

admin2021-10-18 68

问题求曲线y=x²-2x、y=0、x=1、x=3所闱成区域的面积S，并求该区域绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V．

选项

答案区域面积为S=∫₁³｜f(x)｜dx=∫₁²(2x-x²)dx+∫₂³(x²-2x)dx=(x²-1/3x³)｜₁²+(1/3x³-x²)｜₂³=2；V_y=2π∫₁³x｜f(x)｜dx=2π[∫₁²x(2x-x²)dx+∫₂³x(x²-2x)dx]=2π[(2/3x³-1/4x⁴)｜₁²+(1/4x⁴-2/3x³)｜₂³]=9π．

解析

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考研数学二

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适当选取函数φ(x)，作变量代换y=φ(x)u，将y关于x的微分方程=0化为u关于x的二阶常系数齐次线性微分方程求φ(x)及λ，并求原方程的通解．
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