设连续函数f(x)满足f(x)=∫02xf(t/2)dt+ex，则f(x)=________．

admin2021-10-18 60

问题设连续函数f(x)满足f(x)=∫₀^2xf(t/2)dt+e^x，则f(x)=________．

选项

答案2e^2x-e^x

解析 ∫₀^2xf(t/2)dt-2∫₀^xf(t)dt，则f(x)=∫₀^2xf(t/2)dt+e^x可化为f(x)=2∫₀^xf(t)dt+e^x，两边求导得f’(x)-2f(x)=e^x，解得f(x)=[e^x·e^∫-2dxdx+C]e^-∫-2dx=(-e^-x+C)e^2x-e^x，因为f(0)=1，所以f(0)=C-1=1，C=2，于是f(x)=2e^2x-e^x．

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