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设二次型f(x1,x2,x3)=XTA X=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(b>0),其中二次型f的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12. (1)求a、b的值; (2)利用正交变换将二次型f化为标准形.并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵
设二次型f(x1,x2,x3)=XTA X=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(b>0),其中二次型f的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12. (1)求a、b的值; (2)利用正交变换将二次型f化为标准形.并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵
admin
2018-08-02
53
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=X
T
A
X=ax
1
2
+2x
2
2
-2x
3
2
+2bx
1
x
3
(b>0),其中二次型f的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12.
(1)求a、b的值;
(2)利用正交变换将二次型f化为标准形.并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
选项
答案
(1)f的矩阵为A=[*],由λ
1
+λ
2
+λ
3
=a+2+(-2)=1,及λ
1
λ
2
λ
3
=|A|=2(-2a-b
2
)=-12,解得a=1,b=2. (2)正交矩阵P=[*],可使P
T
AP=[*],故在正交变换[*]下,f的标准形为f=2y
1
2
+2y
2
2
-3y
3
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/42j4777K
0
考研数学二
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