设二次型f(x1，x2，x3)=XTA X=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(b＞0)，其中二次型f的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12． (1)求a、b的值； (2)利用正交变换将二次型f化为标准形．并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵

admin2018-08-02 67

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TA
X=ax₁²+2x₂²-2x₃²+2bx₁x₃(b＞0)，其中二次型f的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．
(1)求a、b的值；
(2)利用正交变换将二次型f化为标准形．并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

选项

答案(1)f的矩阵为A=[*]，由λ₁+λ₂+λ₃=a+2+(-2)=1，及λ₁λ₂λ₃=｜A｜=2(-2a-b²)=-12，解得a=1，b=2． (2)正交矩阵P=[*]，可使P^TAP=[*]，故在正交变换[*]下，f的标准形为f=2y₁²+2y₂²-3y₃²．

解析

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