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(2005年试题,19)已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,证明:(I)存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1一ξ;(Ⅱ)存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f’(η)f’(ζ)=1.
(2005年试题,19)已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,证明:(I)存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1一ξ;(Ⅱ)存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f’(η)f’(ζ)=1.
admin
2021-01-19
33
问题
(2005年试题,19)已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,证明:(I)存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1一ξ;(Ⅱ)存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f
’
(η)f
’
(ζ)=1.
选项
答案
(I)设f(x)=f(x)一1+x,因为f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=一1,f(1)=1,即f(0).f(1)<0,由连续函数的零点存在性定理可知,存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=0,即有f(ξ)=1一ξ.(Ⅱ)根据(I)的结果,在[0,ξ]上用拉格朗日中值定理知,存在η∈(0,ξ),使得[*]在[ξ,1]上,用拉格朗日中值定理可知,存在ζ∈(ξ,1),使得[*]所以,存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得[*]
解析
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考研数学二
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