2. 考研
  3. 设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量，A＝[α1，α2，α3，α4]，A*为A的伴随矩阵，又知方程 组AX＝0的基础解系为[1，0，2，0]T，则方程组A*X＝0的基础解系为( )．

设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量，A＝[α1，α2，α3，α4]，A*为A的伴随矩阵，又知方程 组AX＝0的基础解系为[1，0，2，0]T，则方程组A*X＝0的基础解系为( )．

admin2020-04-09  23
问题 设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量，A＝[α1，α2，α3，α4]，A*为A的伴随矩阵，又知方程 组AX＝0的基础解系为[1，0，2，0]T，则方程组A*X＝0的基础解系为(    )．
选项 A、α1，α2，α3
B、α1＋α2，α2＋α3，α3＋α1
C、α2，α3，α4
D、α1＋α2，α2＋α3，α3＋α4，α4＋α1
答案C
解析 由AX＝0的基础解系所含解向量个数为1知，
n一r(A)＝4一r(A)＝1，故r(A)＝3．
因而可确定r(A*)＝1，于是A*X＝0的一个基础解系含3个解向量．
解一  由AX＝0的基础解系仅含有一个解向量知，r(A)＝3，从而r(A*)＝1，于是方程组
    A*X＝0的基础解系中仅含3个解向量．
又    A*A＝A*[α1，α2，α3，α4]＝｜A｜E＝0，
所以向量α1，α2，α3，α4是方程组A*X＝0的解．因为[1，0，2，0]T是AX＝0的解，故有α1＋2α3＝0，即α1，α3线性相关，从而向量组α1，α2，α3和向量组α1，α2，α3，α4均线性相关，故排除(A)、(B)、(D)．仅(C)入选．
解二  由解一知，α1，α2，α3，α4均为A*X＝0的解向量，且其基础解系只含3个解向量．
由α1＋2α3＝0得
    α1＝0α2—2α3＋0α4，
即α1可由α2，α3，α4线性表示，又
    r(α1，α2，α3，α4)＝3，
所以α2，α3，α4线性无关，即α2，α3，α4为A*X＝0的一个基础解系．仅(C)入选．
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考研数学三

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