2. 考研
  3. 设A为3阶矩阵，α1,α2,α3是线性无关的3维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3． 问A能否相似对角化；若能，请求出相似变换矩阵P与对角阵A；若不能，请说明理由．

设A为3阶矩阵，α1,α2,α3是线性无关的3维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3． 问A能否相似对角化；若能，请求出相似变换矩阵P与对角阵A；若不能，请说明理由．

admin2017-07-11  33
问题 设A为3阶矩阵，α1,α2,α3是线性无关的3维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．
问A能否相似对角化；若能，请求出相似变换矩阵P与对角阵A；若不能，请说明理由．
选项
答案对于矩阵B，求方程组(E—B)x=0的基础解系，可得B的属于特征值λ=1的两个线性无关的特征向量η1=(一1，1，0)T，η2=(一2，0，1)T． 求方程组(4E—B)x=0的基础解系，可得B的属于特征值λ=4的特征向量η3=(0，1，1)T． 令P1=(η，η，η)，则有P1一1BP1=[*]从而有 P1一1C一1ACP1=[*] 即(CP1)一1A(CP1)=[*] 故矩阵A可相似对角化，且相似变换矩阵为 P=CP1=(α1，α2，α3)[*]=(一α1+α2，一2α1+α3,α2+α3)．
解析
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考研数学三

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