设A为3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量,且满足Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α2+α3,Aα3=2α2+3α3. 问A能否相似对角化;若能,请求出相似变换矩阵P与对角阵A;若不能,请说明理由.

admin2017-07-11  29

问题 设A为3阶矩阵,α123是线性无关的3维列向量,且满足Aα1123,Aα2=2α23,Aα3=2α2+3α3
问A能否相似对角化;若能,请求出相似变换矩阵P与对角阵A;若不能,请说明理由.

选项

答案对于矩阵B,求方程组(E—B)x=0的基础解系,可得B的属于特征值λ=1的两个线性无关的特征向量η1=(一1,1,0)T,η2=(一2,0,1)T. 求方程组(4E—B)x=0的基础解系,可得B的属于特征值λ=4的特征向量η3=(0,1,1)T. 令P1=(η,η,η),则有P1一1BP1=[*]从而有 P1一1C一1ACP1=[*] 即(CP1)一1A(CP1)=[*] 故矩阵A可相似对角化,且相似变换矩阵为 P=CP1=(α1,α2,α3)[*]=(一α12,一2α1323).

解析
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