(05年)设D＝为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵． (Ⅰ)计算PTDP，其中P＝； (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B－CTA-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

admin2017-05-26 113

问题 (05年)设D＝

为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．
(Ⅰ)计算P^TDP，其中P＝

；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B－C^TA^-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

选项

答案[*] (Ⅱ)矩阵B－C^TA^-1C是正定矩阵．证明如下：由(Ⅰ)的结果可知，矩阵D合同于矩阵 [*] 又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵．因矩阵M为对称矩阵，故B－C^TA^-1C为对称矩阵．对X＝[*]及任意的Y＝(y₁，y₂，…，y_n)^T≠0，由M正定，有 [*] 即Y^T(B－C^TA)Y＞0．故B－C^TA^-1C为正定矩阵．

解析

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考研数学三

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